Prove the Distributive Laws: (a) A n (B U C) = (A n B) U (A n C), (b) AU (B n C) = (A U B) n (A U C).

(a) Para provar a lei distributiva A n (B U C) = (A n B) U (A n C), precisamos mostrar que cada lado da equação contém os mesmos elementos. Primeiro, vamos mostrar que A n (B U C) está contido em (A n B) U (A n C). Se x pertence a A n (B U C), então x pertence a A e x pertence a B U C. Isso significa que x pertence a A e x pertence a B ou x pertence a A e x pertence a C. Portanto, x pertence a (A n B) U (A n C). Agora, vamos mostrar que (A n B) U (A n C) está contido em A n (B U C). Se x pertence a (A n B) U (A n C), então x pertence a A e x pertence a B ou x pertence a A e x pertence a C. Se x pertence a B, então x pertence a B U C, e se x pertence a C, então x pertence a B U C. Portanto, x pertence a A n (B U C). (b) Para provar a lei distributiva A U (B n C) = (A U B) n (A U C), precisamos mostrar que cada lado da equação contém os mesmos elementos. Primeiro, vamos mostrar que A U (B n C) está contido em (A U B) n (A U C). Se x pertence a A U (B n C), então x pertence a A ou x pertence a B e x pertence a C. Isso significa que x pertence a A U B e x pertence a A U C. Portanto, x pertence a (A U B) n (A U C). Agora, vamos mostrar que (A U B) n (A U C) está contido em A U (B n C). Se x pertence a (A U B) n (A U C), então x pertence a A U B e x pertence a A U C. Isso significa que x pertence a A ou x pertence a B e x pertence a C. Portanto, x pertence a A U (B n C).