Mostre que Ax2+By2 = 1 é uma solução da equação diferencial x(dy/dx) - y = 0.

Para mostrar que Ax² + By² = 1 é uma solução da equação diferencial x(dy/dx) - y = 0, precisamos derivar Ax² + By² em relação a x e substituir y por Ax² + By² na equação diferencial. Derivando Ax² + By² em relação a x, temos: d/dx(Ax² + By²) = 2Ax(d/dx)x + 2By(d/dx)y d/dx(Ax² + By²) = 2Ax + 2By(dy/dx) Substituindo y por Ax² + By² na equação diferencial, temos: x(dy/dx) - y = 0 x(dy/dx) - (Ax² + By²) = 0 Agora, substituindo a primeira equação na segunda, temos: x(dy/dx) - (Ax² + By²) = 0 x(dy/dx) - (Ax² + By²(dy/dx)/(dy/dx)) = 0 x(dy/dx) - (Ax²(dy/dx)/(dy/dx) + By²(dy/dx)/(dy/dx)) = 0 x(dy/dx) - (A(x(dy/dx)/x) + B(y(dy/dx)/y))) = 0 x(dy/dx) - (Ax(dy/dx)/x + By(dy/dx)/y) = 0 x(dy/dx) - (Ax + By(dy/dx)/y) = 0 x(dy/dx) - (Ax + B(2By(dy/dx))) = 0 x(dy/dx) - Ax - 2B²y(dy/dx) = 0 x(dy/dx) - Ax = 2B²y(dy/dx) (dy/dx)(x - 2B²y) = Ax (dy/dx) = Ax/(x - 2B²y) Agora, substituindo Ax² + By² por 1, temos: (dy/dx) = A/(x - 2B²y) Portanto, Ax² + By² = 1 é uma solução da equação diferencial x(dy/dx) - y = 0.