Considere o problema de valor inicial: 4y′′ + 4y′ + y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 2. (a) Ache a solução deste problema. Resp: y = e−x/2 + 5/2 xe−x/2. (...

(a) A solução do problema de valor inicial é y = e^(-x/2) + (5/2)x*e^(-x/2). (b) Para encontrar o ponto de máximo, precisamos encontrar a primeira derivada da função y em relação a x e igualá-la a zero. Então, temos: y' = (-1/2)e^(-x/2) + (5/2)e^(-x/2) - (5/2)x*e^(-x/2) Igualando a zero, temos: (-1/2)e^(-x/2) + (5/2)e^(-x/2) - (5/2)x*e^(-x/2) = 0 Simplificando, temos: e^(-x/2) = (5/2)x*e^(-x/2) x = 2/5 Substituindo x em y, temos: y(2/5) = e^(-1/5) + (5/2)*(2/5)*e^(-1/5) = 5e^(-4/5) Portanto, as coordenadas do ponto de máximo são (2/5, 5e^(-4/5)). (c) Mudando a segunda condição inicial para y'(0) = b > 0, a solução dependente de b é y = e^(-x/2) + [(2b + 1)/2]x*e^(-x/2). (d) Para encontrar as coordenadas do ponto de máximo em termos de b, precisamos encontrar a primeira derivada da função y em relação a x e igualá-la a zero. Então, temos: y' = (-1/2)e^(-x/2) + [(2b + 1)/2]e^(-x/2) - [(2b + 1)/2]x*e^(-x/2) Igualando a zero, temos: (-1/2)e^(-x/2) + [(2b + 1)/2]e^(-x/2) - [(2b + 1)/2]x*e^(-x/2) = 0 Simplificando, temos: e^(-x/2) = [(2b + 1)/2]x*e^(-x/2) x = 4b/(2b + 1) Substituindo x em y, temos: y(4b/(2b + 1)) = e^(-2b/(2b + 1)) + [(2b + 1)/2]*(4b/(2b + 1))*e^(-2b/(2b + 1)) = (1 + 2b)e^(-2b/(2b+1)) Quando b cresce, xM tende a 2 e yM tende a infinito.