Considere o problema de valor inicial: 4y′′ + 12y′ + 9y = 0, y(0) = 1, y′(0) = −4. (a) Ache a solução deste problema. Resp: y = e−3x/2 − 5/2 xe−3x...

A solução do problema de valor inicial 4y′′ + 12y′ + 9y = 0, y(0) = 1, y′(0) = −4 é y = e^(-3x/2) - (5/2)x e^(-3x/2). (b) Para determinar onde a solução é zero, precisamos resolver a equação y = e^(-3x/2) - (5/2)x e^(-3x/2) = 0. Isso nos leva a x = 2/5. (c) Para determinar as coordenadas (x0, y0) do ponto de mínimo, precisamos encontrar o valor mínimo de y. Derivando a função y, obtemos y' = (-3/2)e^(-3x/2) - (5/2)e^(-3x/2) + (15/4)xe^(-3x/2). Igualando a zero, encontramos x0 = 16/15. Substituindo x0 na função y, obtemos y0 = -5/3 e^(-8/5). (d) Mudando a segunda condição inicial para y′(0) = b, a solução é y = e^(-3x/2) + (b + 3/2)x e^(-3x/2). Para encontrar o valor crítico de b que separa a solução na sua parte positiva da parte que pode ser negativa, precisamos encontrar o valor de b que torna a solução igual a zero. Isso nos leva a b = -3/2. Portanto, para b < -3/2, a solução é negativa, e para b > -3/2, a solução é positiva.