Considere o problema de valor inicial: y′′ + 2y′ + 6y = 0, y(0) = 2, y′(0) = α ≥ 0. (a) Ache a solução deste problema. Resp: y = e−x(2 cos√5x + α ...
Considere o problema de valor inicial:
y′′ + 2y′ + 6y = 0, y(0) = 2, y′(0) = α ≥ 0.
(a) Ache a solução deste problema. Resp: y = e−x(2 cos√5x + α + 2/5 sen√5x).
(b) Ache α para que y = 0 quando t = 1. Resp: α ≈ 1.5086.
(c) Ache, como uma função de α, o menor valor positivo de x para o qual y = 0. Resp: x = 1/√5 arctg(− 2√5α + 2).
(d) Determine o limite da expressão da alínea (c) quando α −→ ∞. Resp: x = π/√5.
y′′ + 2y′ + 6y = 0, y(0) = 2, y′(0) = α ≥ 0.
(a) Ache a solução deste problema. Resp: y = e−x(2 cos√5x + α + 2/5 sen√5x).
(b) Ache α para que y = 0 quando t = 1. Resp: α ≈ 1.5086.
(c) Ache, como uma função de α, o menor valor positivo de x para o qual y = 0. Resp: x = 1/√5 arctg(− 2√5α + 2).
(d) Determine o limite da expressão da alínea (c) quando α −→ ∞. Resp: x = π/√5.
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(a) A solução deste problema é y = e^(-x)(2cos(√5x) + α + (2/5)sen(√5x)). (b) Para que y = 0 quando t = 1, precisamos resolver a equação y = e^(-1)(2cos(√5) + α + (2/5)sen(√5)) = 0 em relação a α. Isso nos leva a α ≈ 1.5086. (c) Para encontrar o menor valor positivo de x para o qual y = 0, precisamos resolver a equação y = e^(-x)(2cos(√5x) + α + (2/5)sen(√5x)) = 0 em relação a x. Isso nos leva a x = (1/√5)arctg(-2√5α + 2). (d) Quando α → ∞, a expressão para x se aproxima de x = π/√5.
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