Ache a equação diferencial cuja solução geral é y(x) = c1e−t/2 + c2e−2t.

Para encontrar a equação diferencial cuja solução geral é y(x) = c1e−t/2 + c2e−2t, precisamos derivar a solução geral duas vezes e, em seguida, substituir na equação diferencial y''(x) + ay'(x) + by(x) = 0. Derivando y(x) duas vezes, temos: y'(x) = (-1/2)c1e^(-t/2) - 2c2e^(-2t) y''(x) = (1/4)c1e^(-t/2) + 4c2e^(-2t) Substituindo na equação diferencial, temos: (1/4)c1e^(-t/2) + 4c2e^(-2t) + a(-1/2)c1e^(-t/2) - 2ac2e^(-2t) + bc1e^(-t/2) + bc2e^(-2t) = 0 Simplificando, temos: [(1/4) + (a/2) + b]c1e^(-t/2) + [4 - (2a) + b]c2e^(-2t) = 0 Para que essa equação seja verdadeira para todos os valores de t, os coeficientes de c1 e c2 devem ser iguais a zero. Portanto, temos o seguinte sistema de equações: (1/4) + (a/2) + b = 0 4 - (2a) + b = 0 Resolvendo esse sistema, encontramos: a = -5/2 e b = 9/4 Portanto, a equação diferencial procurada é: y''(x) - (5/2)y'(x) + (9/4)y(x) = 0