(Redução à primeira ordem.) Faça a substituição u = y′ nas equações diferenciais abaixo e, a seguir, resolva-as. a) x2y′′ + 2xy′ − 1 = 0, x > 0. R...
(Redução à primeira ordem.) Faça a substituição u = y′ nas equações diferenciais abaixo e, a seguir, resolva-as.
a) x2y′′ + 2xy′ − 1 = 0, x > 0. Resp: y = c1x−1 + c2 + ln x.
b) xy′′ + y′ = 1, x > 0. Resp: y = c1 ln x + c2 + x.
c) y′′ + x(y′)2 = 0. Resp: y(x) = 2c2 arctg(x/c2) + c1.
d) y′′ + y′ = e−t. Resp: y(x) = e−x(−c1 − x − 1) + c2
a) x2y′′ + 2xy′ − 1 = 0, x > 0. Resp: y = c1x−1 + c2 + ln x.
b) xy′′ + y′ = 1, x > 0. Resp: y = c1 ln x + c2 + x.
c) y′′ + x(y′)2 = 0. Resp: y(x) = 2c2 arctg(x/c2) + c1.
d) y′′ + y′ = e−t. Resp: y(x) = e−x(−c1 − x − 1) + c2
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💡 1 Resposta
Ed 
Para resolver a equação diferencial x²y'' + 2xy' - 1 = 0, fazemos a substituição u = y'. Então, temos que u' = y'' e podemos reescrever a equação como x²u' + 2xu - 1 = 0. Agora, podemos resolver essa equação diferencial de primeira ordem usando o método da separação de variáveis. Separamos as variáveis u e x e obtemos: x²u' = 1 - 2xu Dividindo ambos os lados por (1 - 2xu) e integrando em relação a u e x, respectivamente, temos: - ln|1 - 2xu| = ln|x| + c1 Substituindo u = y' e resolvendo para y, obtemos: y = c1x^(-1) + c2 + ln|x| Portanto, a resposta é y = c1x^(-1) + c2 + ln|x|.
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