Disciplina - MAT01167 Equações diferenciais II/ Turma A1 Prova 1 - 05/05/2017 Questões: 1. (2pt) Resolva o problema de valor inicial xy′ + 2y = ...

Disciplina - MAT01167
Equações diferenciais II/ Turma A1
Prova 1 - 05/05/2017
Questões:
1. (2pt) Resolva o problema de valor inicial
xy′ + 2y = 3, y(1) = 4
e determine o intervalo máximo de definição da solução.
2. (2pt) Um posśıvel modelo para a velocidade v de um corpo de massa m caindo sob a
influência da gravidade é dado pela equação diferencial autônoma
m
dv
dt
= mg − kv2,
onde g é a constante de aceleração da gravidade e k é uma constante positiva. (Obs. Note
que este modelo assume que a força de resistência do ar é proporcional ao quadrado da
velocidade). Assumindo esta modelagem, calcule, em termos de m, g e k, a velocidade
terminal do corpo, isto é limt→+∞ v(t).
Dica: Não é necessário resolver a equação. Faça um estudo qualitativo.
3. (2pt) Seja y(t) a temperatura no instante t de um corpo imerso em um meio de temperatura
constante ym. A lei do resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de y é proporcional
à diferença (ym − y), isto é, dydt = k(ym − y). No instante t = 0 um bolo é tirado do forno
e sua temperatura é 120 oC. Três minutos mais tarde a temperatura do bolo é de 60 oC.
Supondo que a temperatura do ambiente é controlada e constante em 20 oC, encontre uma
expressão expĺıcita para y(t), a temperatura do bolo no instante t.
4. (2pt) Considere a equação diferencial
x2y′′ + 2xy′ − 2y = 0.
Sabendo que y1(x) = x é uma solução, encontre uma outra solução y2 tal que {y1, y2} seja
linearmente independente.
5. (2pt)
(a) Seja z a solução do seguinte problema de valor inicial:{
z′′ − z′ − 6z = 0
z(0) = 3, z′(0) = β
.
Informe a condição que β deve satisfazer para que limt→∞ z(t) = 0.
(b) Seja y a solução do seguinte problema de valor inicial:{
y′′ + 2y′ + ky = 0
y(0) = 3, y′(0) = −2
.
Informe a condição que k deve satisfazer para que existam infinitos valores de t para
os quais y(t) = 0.
1 Soluções:
1. y(x) = 3
2
+ 5
2x2
I = (0,∞).
2. Note que dv
dt
= f(v) onde f(v) = g − k
m
v2. O gráfico de f é dado abaixo.
Note que se 0 ≤ v <
(
mg
k
)1/2
, então v′ > 0, e portanto v é crescente.
Agora se v >
(
mg
k
)1/2
então v′ < 0, e portanto v é decrescente.
Essa análise permite concluir que a velocidade limite é
√
mg
k
.
Obs. Consideremos que a constante g de aceleração da gravidade é positiva. Sendo assim, na
equação mdv
dt
= mg−kv2, o termo mg, que representa a força peso, contribui positivamente
para dv
dt
. Portanto, a orientação foi escolhida de modo que o movimento para baixo é o que
tem velocidade positiva. Note que, neste modelo, a forção de resistência do ar, representada
por −kv2, tem sinal negativo sempre. Portanto esse modelo não se aplica a situações em
que um objeto é lançado para cima (o que corresponde a velocidade negativa). Já que, neste
caso, a força de resistência do ar, tendo o mesmo sinal que a velocidade, estaria favorecendo
o movimento, o que é incoerente. Foi por isso que acima desenhamos o gráfico de v′ = f(v)
apenas para v ≥ 0.
3. y(t) = 20 + 100 ·
(
2
5
)t/3
, ou equivalentemente y(t) = 20 + 100 · e−
t
3
ln(5/2).
4. Uma opção é y2(x) = x
−2. A solução geral da equação é dada por y(x) = C1x+ C2x
−2.
5. (a) β = −6
(b) É preciso que as ráızes da equação caracteŕıstica não sejam reais. Isso ocorre se k > 1.
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