Em cada problema abaixo, ache uma segunda solução da equação diferencial dada, conhecendo uma solução. (a) x2y′′ + 3xy′ − y = 0, x > 0, y1(x) = x−...

Para encontrar uma segunda solução de uma equação diferencial linear homogênea, podemos usar o método de redução de ordem. Suponha que y1(x) seja uma solução conhecida da equação diferencial: (a) Para a equação x²y′′ + 3xy′ − y = 0, temos y1(x) = x⁻¹. Usando o método de redução de ordem, assumimos que y2(x) = v(x)y1(x), onde v(x) é uma função a ser determinada. Substituindo y2(x) na equação diferencial, obtemos: x²v''(x) + 2xv'(x) = 0 Esta é uma equação diferencial separável que pode ser resolvida por integração direta. Integrando duas vezes, obtemos: v(x) = ln x + C1 Portanto, a segunda solução é y2(x) = (ln x + C1)/x. (b) Para a equação (x − 1)y′′ − xy′ + y = 0, temos y1(x) = ex. Usando o método de redução de ordem, assumimos que y2(x) = v(x)y1(x), onde v(x) é uma função a ser determinada. Substituindo y2(x) na equação diferencial, obtemos: v''(x) + (2/x − 1/x²)v'(x) = 0 Esta é uma equação diferencial separável que pode ser resolvida por integração direta. Integrando duas vezes, obtemos: v(x) = x Portanto, a segunda solução é y2(x) = xex. (c) Para a equação y′′ + 5y′ = 0, temos y1(x) = 1. Usando o método de redução de ordem, assumimos que y2(x) = v(x)y1(x), onde v(x) é uma função a ser determinada. Substituindo y2(x) na equação diferencial, obtemos: v''(x) + 5v'(x) = 0 Esta é uma equação diferencial separável que pode ser resolvida por integração direta. Integrando duas vezes, obtemos: v(x) = C1e⁻⁵x Portanto, a segunda solução é y2(x) = C1e⁻⁵x. (d) Para a equação y′′ − y′ = 0, temos y1(x) = 1. Usando o método de redução de ordem, assumimos que y2(x) = v(x)y1(x), onde v(x) é uma função a ser determinada. Substituindo y2(x) na equação diferencial, obtemos: v''(x) − v'(x) = 0 Esta é uma equação diferencial separável que pode ser resolvida por integração direta. Integrando duas vezes, obtemos: v(x) = C1eⁿˣ + C2 onde n é uma constante a ser determinada. Substituindo v(x) na equação y2(x) = v(x)y1(x), obtemos: y2(x) = (C1eⁿˣ + C2)x Para encontrar n, usamos a condição de que y2(x) deve ser linearmente independente de y1(x). Como y1(x) = 1, temos: y2(x) = C1ex + C2x Portanto, a segunda solução é y2(x) = ex. (e) Para a equação y′′ − 4y′ + 4y = 0, temos y1(x) = e²ˣ. Usando o método de redução de ordem, assumimos que y2(x) = v(x)y1(x), onde v(x) é uma função a ser determinada. Substituindo y2(x) na equação diferencial, obtemos: v''(x) + 2v'(x) = 0 Esta é uma equação diferencial separável que pode ser resolvida por integração direta. Integrando duas vezes, obtemos: v(x) = C1 + C2x Portanto, a segunda solução é y2(x) = (C1 + C2x)e²ˣ. (f) Para a equação y′′ + 16y = 0, temos y1(x) = cos 4x. Usando o método de redução de ordem, assumimos que y2(x) = v(x)y1(x), onde v(x) é uma função a ser determinada. Substituindo y2(x) na equação diferencial, obtemos: v''(x) − 16v(x) = 0 Esta é uma equação diferencial separável que pode ser resolvida por integração direta. Integrando duas vezes, obtemos: v(x) = C1sen 4x + C2cos 4x Portanto, a segunda solução é y2(x) = (C1sen 4x + C2cos 4x)cos 4x. (g) Para a equação y′′ − y = 0, temos y1(x) = cosh x. Usando o método de redução de ordem, assumimos que y2(x) = v(x)y1(x), onde v(x) é uma função a ser determinada. Substituindo y2(x) na equação diferencial, obtemos: v''(x) − v(x) = 0 Esta é uma equação diferencial separável que pode ser resolvida por integração direta. Integrando duas vezes, obtemos: v(x) = C1cosh x + C2senh x Portanto, a segunda solução é y2(x) = (C1cosh x + C2senh x)cosh x + (ln(1 + ex) + 1)/(1 + ex). (h) Para a equação 9y′′ − 12y′ + 4y = 0, temos y1(x) = e²ˣ/3. Usando o método de redução de ordem, assumimos que y2(x) = v(x)y1(x), onde v(x) é uma função a ser determinada. Substituindo y2(x) na equação diferencial, obtemos: 9v''(x) − 6v'(x) + 4v(x) = 0 Esta é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes que pode ser resolvida por meio da equação característica. A equação característica é: 9r² − 6r + 4 = 0 As raízes são: r1 = (1 + i)/3 e r2 = (1 − i)/3 Portanto, a solução geral da equação diferencial é: y(x) = C1e^(r1x) + C2e^(r2x) Substituindo r1 e r2, obtemos: y(x) = C1e^(x/3)(cos x/3 + i sen x/3) + C2e^(x/3)(cos x/3 − i sen x/3) Para encontrar uma segunda solução, podemos usar o método de redução de ordem novamente. Suponha que y2(x) = v(x)y1(x), onde v(x) é uma função a ser determinada. Substituindo y2(x) na equação diferencial, obtemos: v''(x) − (2/3)v'(x) + (4/9)v(x) = 0 Esta é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes que pode ser resolvida por meio da equação característica. A equação característica é: r² − (2/3)r + (4/9) = 0 As raízes são: r1 = 2/3 e r2 = 2/3 Portanto, a solução geral da equação diferencial é: v(x) = C1e^(2x/3) + C2xe^(2x/3) Portanto, a segunda solução é y2(x) = (C1e^(2x/3) + C2xe^(2x/3))e^(2x/3). (i) Para a equação x²y′′ − 7xy′ + 16y = 0, temos y1(x) = x⁴. Usando o método de redução de ordem, assumimos que y2(x) = v(x)y1(x), onde v(x) é uma função a ser determinada. Substituindo y2(x) na equação diferencial, obtemos: v''(x) − (6/x)v'(x) + (16/x²)v(x) = 0 Esta é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes variáveis que pode ser resolvida por meio do método de fator integrante. O fator integrante é: μ(x) = x⁻⁶ Multiplicando a equação diferencial por μ(x), obtemos: (x²y''(x) − 7xy'(x) + 16y(x))x⁻⁶ = 0 Esta equação pode ser reescrita como: (x⁻²y''(x) − 7x⁻³y'(x) + 16x⁻⁴y(x)) = 0 Esta é uma equação diferencial de Euler que pode ser resolvida por meio da substituição y(x) = xⁿ. Substituindo y(x) = xⁿ na equação diferencial, obtemos: n(n − 1)xⁿ − 7nxⁿ + 16xⁿ = 0 Simplificando, obtemos: n² − 6n + 16 = 0 As raízes são: n1 = 3 + 2i e n2 = 3 − 2i Portanto, a solução geral da equação diferencial é: y(x) = C1x^(3+2i) + C2x^(3−2i) Substituindo n1 e n2, obtemos: y(x) = C1x³(cos 2ln x + i sen 2ln x) + C2x³(cos 2ln x − i sen 2ln x) Para encontrar uma segunda solução, podemos usar o método de redução de ordem novamente. Suponha que y2(x) = v(x)y1(x), onde v(x) é uma função a ser determinada. Substituindo y2(x) na equação diferencial, obtemos: v''(x) − (2/x)v'(x) + (2/x²)v(x) = 0 Esta é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes variáveis que pode ser resolvida por meio do método de fator integrante. O fator integrante é: μ(x) = x⁻² Multiplicando a equação diferencial por μ(x), obtemos: (x²v''(x) − 2xv'(x) + 2v(x))x⁻² = 0 Esta equação pode ser reescrita como: (x⁻²v''(x) − 2x⁻³v'(x) + 2x⁻⁴v(x)) = 0 Esta é uma equação diferencial de Euler que pode ser resolvida por meio da substituição v(x) = xⁿ. Substituindo v(x) = xⁿ na equação diferencial, obtemos: n(n − 1)xⁿ − 2nxⁿ + 2xⁿ = 0 Simplificando, obtemos: n² − 3n + 2 = 0 As raízes são: n1 = 1 e n2 = 2 Portanto, a solução geral da equação diferencial é: v(x) = C1x + C2x² Portanto, a segunda solução é y2(x) = (C1x + C2x²)x⁴. (j) Para a equação (1 − 2x − x²)y′′ + 2(1 + x)y′ − 2y = 0, temos y1(x) = x + 1. Usando o método de redução de ordem, assumimos que y2(x) = v(x)y1(x), onde v(x) é uma função a ser determinada. Substituindo y2(x) na equação diferencial, obtemos: (1 − 2x − x²)v''(x) + (2 − 2x)v'(x) = 0 Esta é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes variáveis que pode ser resolvida por meio do método de fator integrante. O fator integrante é: μ(x) = e^(∫(2-2x)/(1-2x-x²)dx) Para encontrar a integral, podemos fazer a substituição u = 1 − 2x − x². Então, du/dx = −2x − 2 e dx = −du/(2x + 2). Substituindo na integral, obtemos: ∫(2-2x)/(1-2x-x²)dx = ∫(−1/2)du/u = −ln|u| + C = −ln|1 − 2x − x²| + C Portanto, o fator integrante é: μ(x) = e^(−ln|1 − 2x − x²|) = (1 − 2x − x²)⁻¹ Multiplicando a equação diferencial por μ(x), obtemos: v''(x) = 0 Esta é uma equação diferencial de primeira ordem que pode ser resolvida por integração direta. Integrando duas vezes, obtemos: v(x) = C1x + C2 Portanto, a segunda solução é y2(x) = (C1x + C2)(x + 1)/(1 − 2x − x²).