Equações lineares e não lineares. A equação diferencial ordinária F(t, y, y′, . . . , y(n)) = 0 é linear se F é uma função linear nas variáveis y, ...

Question

Equações lineares e não lineares. A equação diferencial ordinária F(t, y, y′, . . . , y(n)) = 0 é linear se F é uma função linear nas variáveis y, y′, . . . , y(n). Esta definição é equivalente à de uma transformação linear vista em Álgebra Linear. Uma definição similar se aplica às equações diferenciais parciais. Desta maneira, a forma geral de uma equação diferencial linear de ordem n é: a0(t)y(n) + a1(t)y(n−1) + · · · + an(t)y = g(t). Uma equação que não respeita a condição acima é não linear. Para cada uma das seguintes equações diferenciais abaixo, diga a sua ordem se é linear ou não linear. Explique.
(a) t2y′′ + ty′ + 2y = sen t. Resp: segunda ordem linear.
(b) yIV + y′′′ + y′′ + y′ + y = 1. Resp: quarta ordem linear.
(c) y′′ + sen (t + y) = sen t. Resp: segunda ordem não linear.
(d) y′ + ty2 = 0. Resp: primeira ordem não linear.
(e) y′′′ + ty′ + ( cos 2t)y = t3. Resp: terceira ordem linear.

Ed · Answer

(a) A equação é de segunda ordem e linear, pois a equação pode ser escrita na forma a0(t)y'' + a1(t)y' + a2(t)y = g(t), onde a0(t) = t², a1(t) = t e a2(t) = 2 são funções lineares em y e y'.
(b) A equação é de quarta ordem e linear, pois a equação pode ser escrita na forma a0(t)y⁽⁴⁾ + a1(t)y''' + a2(t)y'' + a3(t)y' + a4(t)y = g(t), onde a0(t) = 1, a1(t) = 1, a2(t) = 1, a3(t) = 1 e a4(t) = 1 são funções lineares em y, y', y'' e y'''.
(c) A equação é de segunda ordem e não linear, pois a equação não pode ser escrita na forma a0(t)y'' + a1(t)y' + a2(t)y = g(t), onde a0(t), a1(t) e a2(t) são funções lineares em y e y'.
(d) A equação é de primeira ordem e não linear, pois a equação não pode ser escrita na forma a0(t)y' + a1(t)y = g(t), onde a0(t) e a1(t) são funções lineares em y.
(e) A equação é de terceira ordem e linear, pois a equação pode ser escrita na forma a0(t)y⁽³⁾ + a1(t)y' + a2(t)y = g(t), onde a0(t) = 1, a1(t) = t e a2(t) = cos(2t) são funções lineares em y e y'.

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