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Aula 7 - Equações Lineares Não-Homogêneas com Coeficientes Constantes - Teoria

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Equações Diferenciais e Séries 
Professor Hans 
Aula 7: Equações Lineares Não-Homogêneas com Coeficientes Constantes - Teoria 
 
Equações Lineares Não-Homogêneas com 
Coeficientes Constantes 
 
Uma equação do tipo 
 
1
1 1 0... ' ( )
n n
n na y a y a y a y g x

    
 
 
em que 
ia
, 
0,1,...,i n
 são constantes reais com 
( ) 0g x 
, é chamada de Equações Lineares 
Não-Homogêneas com Coeficientes 
Constantes. 
 
Solução Geral das Equações Não-
Homogêneas 
 
A solução geral da equação é uma soma 
da solução geral da equação homogênea 
associada com uma solução particular da 
equação dada. 
 
h py y y 
 
 
onde 
py
 é uma solução particular da equação 
dada e 
hy
, a solução geral da homogênea 
associada. 
 
 
Determinação da Solução Particular por 
Tentativas 
 
Caso I 
Nenhuma função da suposta solução 
particular é uma solução para a equação 
diferencial homogênea associada. 
 
 
 
 
 
 
 
Tentativas para Soluções Particulares 
 
( )g x
 
py
 
Qualquer 
constante 
A
 
5 7x
 
Ax B
 
23 2x 
 
2Ax Bx C 
 
3 1x x 
 
3 2Ax Bx Cx D  
 
4sen x
 
cos4 4A x Bsen x
 
cos4x
 
cos4 4A x Bsen x
 
5xe
 
5xAe
 
5(9 2) xx e
 
5( ) xAx B e
 
2 5xx e
 
2 5( ) xAx Bx C e 
 
3 4xe sen x
 
3 3cos4 4x xAe x Be sen x
 
25 4x sen x
 
2 2( )cos4 ( ) 4Ax Bx C x Dx Ex F sen x    
 
3 cos4xxe x
 
3 3( ) cos4 ( ) 4x xAx B e x Cx B e sen x  
 
 
 
Caso II 
Uma função na solução particular 
escolhida é também uma solução para a 
equação diferencial homogênea associada. 
 
Suponha que 
( )g x
 consista de m termos 
do tipo dado na tabela e suponha ainda que a 
suposição usual para uma solução particular 
seja 
 
1 2 ...p p p pmy y y y   
 
 
em que os 
piy
, 
1,2,...,i m
, são as formas de 
soluções particulares tentadas correspondentes 
a esses termos. Sob essa circunstância 
descrita, temos: 
Se 
piy
contém termos que duplicam termos 
em
Cy
, então, esta 
piy
 tem de ser multiplicada 
por 
nx
, em que 
n
 é o menor inteiro positivo 
que elimina essa duplicação. 
 
 
 2 
Determinação da Solução Particular por 
Anuladores 
 
A equação diferencial 
( ) ( )L y g x
 tem 
coeficientes constantes e a função consiste em 
somas e produtos finitos de constantes, 
funções polinomiais, funções exponenciais, 
senos e cossenos. 
 
1) Encontre a solução 
hy
 da equação 
homogênea 
( ) 0L y 
. 
2) Opere em ambos os lados da equação 
não-homogênea 
( ) ( )L y g x
 com um 
operador diferencial 
1L
, que anula a 
função 
( )g x
. 
3) Encontre a solução geral da equação 
homogênea de maior ordem
1 ( ) 0L L y 
. 
4) Desconsidere todos os termos da 
solução encontrada no item anterior que 
estão duplicados na solução 
hy
. Forme 
uma combinação linear 
py
 dos termos 
restantes. Essa é a forma de uma 
solução particular para 
( ) ( )L y g x
. 
5) Substitua a 
py
 encontrada na equação 
( ) ( )L y g x
. Agrupe os coeficientes das 
funções em cada lado da igualdade e 
resolva o sistema resultante de 
equações para os coeficientes 
indeterminados em 
py
. 
6) Com a solução particular encontrada, 
forme a solução geral 
h py y y 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método de Variação dos Parâmetros 
 
Para resolver uma equação do tipo 
'' '
2 1 0 ( )a y a y a y g x  
, primeiro encontre a 
função complementar 
1 1 2 2cy c y c y 
 e então 
calcule o Wronskiano 
 
1 2
1 2' '
y y
W
y y

 
 
Dividindo por 
2a
, colocamos a equação na 
forma 
'' ' ( )y Py Qy f x  
 para determinar 
( )f x
. Encontramos 
1u
 e 
2u
 integrando 
 
 
1
1 '
W
u
W

 e 
2
2 '
W
u
W

 
 
Em que 
1W
e 
2W
 estão definidos como 
 
2
1
2
0
( ) '
y
W
f x y

 e 
1
2
1
0
' ( )
y
W
y f x

 
 
com uma solução particular 
1 1 2 2py u y u y 
, a 
solução geral será 
c py y y 
.