Calcule a Transformada de Laplace L{ f (t)}, sendo: (a) f (t) = 2e−3t − 5 sen (8t) + 7t3. Resp: F(s) = 2/(s + 3) - 40/(s^2 + 64) + 42/s^4 (b) f (t...

(a) Para calcular a Transformada de Laplace de f(t) = 2e^(-3t) - 5sen(8t) + 7t^3, usamos as propriedades da Transformada de Laplace e tabelas de transformadas. Temos: L{2e^(-3t)} = 2/(s+3) (pela tabela de transformadas) L{5sen(8t)} = 5.8/(s^2+8^2) = 40/(s^2+64) (pela tabela de transformadas) L{7t^3} = 7.3!/s^4 (pela propriedade da transformada de Laplace da derivada terceira) Portanto, a Transformada de Laplace de f(t) é: F(s) = L{f(t)} = L{2e^(-3t)} - L{5sen(8t)} + L{7t^3} = 2/(s+3) - 40/(s^2+64) + 42/s^4 (b) Para calcular a Transformada de Laplace de f(t) = 2e^(-6t)cos(4t) + 4e^(-5t)sen(3t), usamos as propriedades da Transformada de Laplace e tabelas de transformadas. Temos: L{2e^(-6t)cos(4t)} = 2/(s+6)^2 + 4/(s+6)^2 = 2(s+12)/((s+6)^2+16) (pela tabela de transformadas) L{4e^(-5t)sen(3t)} = 4.3/(s+5)^2+3^2 = 12/((s+5)^2+9) (pela tabela de transformadas) Portanto, a Transformada de Laplace de f(t) é: F(s) = L{f(t)} = L{2e^(-6t)cos(4t)} + L{4e^(-5t)sen(3t)} = 2(s+12)/((s+6)^2+16) + 12/((s+5)^2+9) (c) Para calcular a Transformada de Laplace de f(t) = 4t^2e^(5t) + 6cos(4t) - 10, usamos as propriedades da Transformada de Laplace e tabelas de transformadas. Temos: L{4t^2e^(5t)} = 4.2!/s^3-5/s^3-5 (pela propriedade da transformada de Laplace da derivada terceira) L{6cos(4t)} = 6s/(s^2+4^2) = 6s/(s^2+16) (pela tabela de transformadas) L{10} = 10/s (pela propriedade da transformada de Laplace da função constante) Portanto, a Transformada de Laplace de f(t) é: F(s) = L{f(t)} = L{4t^2e^(5t)} + L{6cos(4t)} - L{10} = 8/((s-5)^3) - 6s/(s^2+16) - 10/s (d) Para calcular a Transformada de Laplace de f(t) = 5e^(6t) + 4cos(6t) - 2t^4, usamos as propriedades da Transformada de Laplace e tabelas de transformadas. Temos: L{5e^(6t)} = 5/(s-6) (pela tabela de transformadas) L{4cos(6t)} = 4s/(s^2+6^2) = 4s/(s^2+36) (pela tabela de transformadas) L{2t^4} = 2.4!/s^5 (pela propriedade da transformada de Laplace da derivada quinta) Portanto, a Transformada de Laplace de f(t) é: F(s) = L{f(t)} = L{5e^(6t)} + L{4cos(6t)} - L{2t^4} = 5/(s-6) - 4s/(s^2+36) - 48/s^5 (e) Para calcular a Transformada de Laplace de f(t) = 3t^5e^(-6t) - 4sen(8t) + 9, usamos as propriedades da Transformada de Laplace e tabelas de transformadas. Temos: L{3t^5e^(-6t)} = 3.5!/s^6+6/s^6+6 (pela propriedade da transformada de Laplace da derivada sexta) L{4sen(8t)} = 4.8/(s^2+8^2) = 32/(s^2+64) (pela tabela de transformadas) L{9} = 9/s (pela propriedade da transformada de Laplace da função constante) Portanto, a Transformada de Laplace de f(t) é: F(s) = L{f(t)} = L{3t^5e^(-6t)} - L{4sen(8t)} + L{9} = 360/((s+6)^6) - 32/(s^2+64) + 9/s