(CESGRANRIO) São dados os vetores v1=(1,2,-3),v2=(2,-1,4) e v3=(7,4,k). Se o conjunto \{v1,v2,v3 \} é linearmente dependente, o valor de k é:

Para que o conjunto \{v1,v2,v3\} seja linearmente dependente, é necessário que existam constantes c1, c2 e c3, não todas nulas, tais que: c1*v1 + c2*v2 + c3*v3 = 0 Substituindo os valores dos vetores, temos: c1*(1,2,-3) + c2*(2,-1,4) + c3*(7,4,k) = (0,0,0) Isso nos leva ao seguinte sistema de equações: c1*1 + c2*2 + c3*7 = 0 c1*2 - c2*1 + c3*4 = 0 c1*(-3) + c2*4 + c3*k = 0 Para que o conjunto seja linearmente dependente, a solução desse sistema deve ter infinitas soluções, ou seja, deve haver uma variável livre. Isso ocorre quando o determinante da matriz dos coeficientes das incógnitas for igual a zero. Assim, temos: |1 2 7 | |2 -1 4 | = 0 |-3 4 k| Resolvendo esse determinante, encontramos: k = -13 Portanto, o valor de k que torna o conjunto \{v1,v2,v3\} linearmente dependente é -13.