O método de Newton-Raphson (MNR) caracteriza-se por ser um caso particular do Método das Aproximações Sucessivas (MAS). Por essa metodologia, é pos...

Para encontrar a melhor aproximação da raiz da função f(x) = x² - 4sen(x) = 0, com estimativa de erro ε ≤ 0,001, utilizando o método de Newton-Raphson (MNR), com x = 3, podemos seguir os seguintes passos: 1. Derivar a função f(x) para obter a sua derivada f'(x) = 2x - 4cos(x). 2. Substituir o valor inicial x = 3 na função f(x) e na sua derivada f'(x), obtendo f(3) = 1,0472 e f'(3) = -4,9899. 3. Aplicar a fórmula do método de Newton-Raphson: x1 = x0 - f(x0)/f'(x0), onde x0 é o valor inicial e x1 é a primeira aproximação da raiz. 4. Substituir os valores obtidos nos passos anteriores na fórmula do MNR: x1 = 3 - 1,0472/(-4,9899) = 3,2095. 5. Calcular o erro absoluto: |x1 - x0| = |3,2095 - 3| = 0,2095. 6. Verificar se o erro absoluto é menor ou igual a ε = 0,001. Como o erro absoluto é maior que ε, precisamos continuar o processo. 7. Repetir os passos 2 a 6 com x0 = x1, obtendo x2 = 2,0349 e erro absoluto |x2 - x1| = 1,1746. 8. Repetir os passos 2 a 6 com x0 = x2, obtendo x3 = 1,9861 e erro absoluto |x3 - x2| = 0,0488. 9. Verificar se o erro absoluto é menor ou igual a ε = 0,001. Como o erro absoluto é menor que ε, podemos considerar x3 como a melhor aproximação da raiz. 10. Portanto, a alternativa correta é a letra A) 1,954.