3.4 Prove, examinando todos os casos posśıveis (demonstração por indução completa), que os seguintes teoremas são válidos (os pares de teore...

Para provar que os teoremas são válidos, podemos usar a demonstração por indução completa. a) A = A: - Caso base: A é igual a si mesmo, portanto A = A. - Passo indutivo: suponha que A = A é verdadeiro para um número natural n. Então, para n + 1, temos A = A, que é verdadeiro. Portanto, A = A é válido para todos os números naturais. b) A + 0 = A e A·1 = A: - Caso base: A + 0 = A e A·1 = A são verdadeiros para A = 1. - Passo indutivo: suponha que A + 0 = A e A·1 = A são verdadeiros para um número natural n. Então, para n + 1, temos A + 0 = A e A·1 = A, que são verdadeiros. Portanto, A + 0 = A e A·1 = A são válidos para todos os números naturais. c) A + 1 = 1 e A·0 = 0: - Caso base: A + 1 = 1 e A·0 = 0 são verdadeiros para A = 0. - Passo indutivo: suponha que A + 1 = 1 e A·0 = 0 são verdadeiros para um número natural n. Então, para n + 1, temos A + 1 = 1 e A·0 = 0, que são verdadeiros. Portanto, A + 1 = 1 e A·0 = 0 são válidos para todos os números naturais. d) A + A = A e AA = A: - Caso base: A + A = A e AA = A são verdadeiros para A = 0. - Passo indutivo: suponha que A + A = A e AA = A são verdadeiros para um número natural n. Então, para n + 1, temos A + A = A e AA = A, que são verdadeiros. Portanto, A + A = A e AA = A são válidos para todos os números naturais. e) A + A = 1 e AA = 0: - Caso base: A + A = 1 e AA = 0 são verdadeiros para A = 1. - Passo indutivo: suponha que A + A = 1 e AA = 0 são verdadeiros para um número natural n. Então, para n + 1, temos A + A = 1 e AA = 0, que são verdadeiros. Portanto, A + A = 1 e AA = 0 são válidos para todos os números naturais. Portanto, todos os teoremas são válidos.