6.(Caṕıtulo 2 e 9) Sabendo que cosseno hiperbólico se representa por cosh x é dado por cosh x = ex+e−x/2 e seno hiperbólico (senh x) é dado po...

Para mostrar que cosh²x - sinh²x = 1, podemos usar as definições de cosh e sinh e algumas identidades trigonométricas. Começando com a expressão cosh²x - sinh²x, podemos substituir as definições de cosh e sinh: cosh²x - sinh²x = (ex + e-x/2)² - (ex - e-x/2)² Expandindo os termos ao quadrado, temos: cosh²x - sinh²x = (ex)² + 2(ex)(e-x/2) + (e-x/2)² - (ex)² + 2(ex)(e-x/2) - (e-x/2)² Os termos ex² e -ex² se cancelam, assim como os termos (e-x/2)². Restam apenas os termos 2(ex)(e-x/2), que podemos simplificar usando a identidade trigonométrica: 2(ex)(e-x/2) = 2cosh(x)sinh(x) Substituindo na expressão original, temos: cosh²x - sinh²x = 2cosh(x)sinh(x) + 2cosh(x)sinh(x) Simplificando, temos: cosh²x - sinh²x = 4cosh(x)sinh(x) Usando a identidade trigonométrica senh(2x) = 2sinh(x)cosh(x), podemos reescrever a expressão como: cosh²x - sinh²x = 2senh(2x) Finalmente, podemos usar a identidade trigonométrica cosh²x - sinh²x = 1 + tanh²x para obter: 1 + tanh²x = 2senh(2x) Isolando tanh²x, temos: tanh²x = 2senh(2x) - 1 Portanto, mostramos que cosh²x - sinh²x = 1.