Resoluções das Provas de Avaliação Intercalar-13042019

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9 Prova de Matemática de 13/04/2019
9.1 Grupo I
1.(Caṕıtulo 5 e 8) Seja f a função, de domı́nio D e contradomı́nio [−1, 0], definida por
f(x) = cos x. Qual dos conjuntos seguintes pode ser o conjunto D?
(A) [−π, 0] (B) [−π
2
, 0]
(C) [0, π] (D) [π
2
, 3π
2
]
Resolução:
É no 2o e 3o quadrantes que o cosseno é não positivo, ou seja, pertence a [−1, 0].
A resposta certa é a (D).
2.(Caṕıtulo 5 e 8) O conjunto solução da equação log3(x + 3) + log3(x − 1) = log3(4x)
é:
(A) {−3, 1} (B) {−1, 3}
(C) {3} (D) {−3, 0, 1}
Resolução:
D = {x ∈ R : x+ 3 > 0 ∧ x− 1 > 0 ∧ 4x > 0}x > −3 ∧ x > 1 ∧ x > 0 =]1,+∞[
log3 (x+ 3) + log3 (x− 1) = log3 (4x) ∧ x ∈ D ⇔ log3 [(x+ 3) (x− 1)] = log3 (4x) ∧ x ∈ D
⇔ (x+ 3) (x− 1) = 4x ∧ x ∈ D ⇔ x2 + 2x− 3 = 4x⇔ x2 − 2x− 3 = 0 ∧ x ∈ D
⇔ x = 2±
√
4+12
2
∧ x ∈ D ⇔ x = 3
A resposta certa é a (C).
3.(Caṕıtulo 7 e 9) 3. O domı́nio da função g(x) = ln
(
|−x+2|
x−1
)
é:
(A) R\ {1, 2} (B) ]1,+∞[\ {2}
(C) ]1,+∞[ (D) R\ {1}
Resolução:
Dg =
{
x ∈ R : |−x+2|
x−1 > 0
}
⇔
|−x+2|≥0
− x+ 2 6= 0 ∧ x− 1 > 0⇔ x 6= 2 ∧ x > 1⇔]1,+∞[\ {2}
A resposta certa é a (B).
63
4.(Caṕıtulo 7) O contradomı́nio da função real de variável real f , definida analiticamente
por f(x) = 5− |x− 3|, é:
(A) ]−∞, 0] (B) ]−∞, 5[
(C) ]−∞, 5] (D) [0,+∞[
Resolução:
|x− 3| > 0⇔ −|x− 3| ≤ 0⇔ 5− |x− 3| ≤ 5⇒ D′f =]−∞, 5]
A resposta certa é a (C).
5.(Caṕıtulo 4, 7 e 10) O gráfico da derivada da função f(x) = −4 cos(x+ π
6
) é:
(A) (B)
(C) (D)
Resolução: Para determinar a opção certa basta atender a que:
f ′ (x) = 4sen
(
x+ π
6
)
:
sen
(
x+ π
6
)
⇔ translação horizontal da representação gráfica da função seno,
π
6
radianos para a esquerda e que o contradomı́nio de f ′ = [−4, 4]
Ou então: f ′ (0) = 4sen
(
0 + π
6
)
= 4× 1
2
= 2
A resposta certa é a (C).
6.(Caṕıtulo 5 e 11) Seja h uma função real duas vezes dife-
renciável em R+. Com base na informação transmitida pela ima-
gem ao lado, onde se encontra representado parte do gráfico de h,
indique qual das seguintes afirmações é verdadeira.
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(A) h′(x) < 0 (B) h′(1) = 0
(C) h′′(x) > 0 (D) h′(x) > 0
Resolução:
A função é crescente em R+ o que permite afirmar que h′(x) > 0.
A concavidade é voltada para baixo em R+ o que permite afirmar que h′′(x) < 0.
A resposta certa é a (D).
7.(Caṕıtulo 2) Indique qual das seguintes afirmações é verdadeira.
(A) x+y+1
y+1
= x, com y 6= −1 (B) 5−x
x−5 = −1, com x 6= 5
(C) x
2+y2
x+y
= x+ y, com y 6= −x (D) 2−x
x+9
× x+9
2−x = 0, com x 6= −9 ∧ x 6= 2
Resolução:
5−x
x−5 =
− (x− 5)
(x− 5) = −1 se x 6= 5
A resposta certa é a (B).
9.2 Grupo II
1. (Caṕıtulo 8) Sejam α, β e θ três números reais.
1.1 Sabe-se que: α ∈]0, π
4
[; α + β = π
2
; α + θ = 2π
Mostre que sen (α) + sen (β) + sen (θ) = cos (α)
Resolução:
β = π
2
− α; θ = 2π − α
sen (α) + sen (β) + sen (θ) = sen (α) + sen
(
π
2
− α
)
+ sen (2π − α)
= sen (α) + cos (α)− sen (α) = cos (α)
.
1.2 Determine o valor exato de cos( π
12
).
Sugestão: considere π
12
= π
3
− π
4
.
Resolução:
65
cos
(
π
12
)
= cos
(
π
3
− π
4
)
= cos
(
π
3
)
cos
(
π
4
)
+ sen
(
π
3
)
sen
(
π
4
)
= 1
2
×
√
2
2
+
√
3
2
×
√
2
2
=
√
2
4
+
√
6
4
=
√
2+
√
6
4
1.3 Seja β um ângulo agudo cujo seno é 1
3
. Calcule o valor exato de cos(β) e de tg(β).
Resolução:
sen2 (β) + cos2 (β) = 1⇔
(
1
3
)2
+ cos2 (β) = 1⇔ 1
9
+ cos2 (β) = 1
⇔ cos2 (β) = 8
9
⇔ cos (β) = ±2
√
2
3
β agudo⇒ cos (β) = 2
√
2
3
tg (β) = sen(β)
cos(β)
=
1
3
2
√
2
3
= 1
2
√
2
=
√
2
2
√
2×
√
2
=
√
2
4
2.(Caṕıtulo 11) Determine uma expressão simplificada para a função derivada da se-
guinte função:
f(x) = cos x sen x + 3x−1
(x+1)2
Resolução:
f ′(x) = (cos x sen x )′ +
[
3x−1
(x+1)2
]′
= −sen x sen x + cos x cos x+ (3x−1)
′(x+1)2−(3x−1)[(x+1)2]
′
[(x+1)2]
2
= cos2 x− sen2 x+ 3(x+1)
2−(3x−1)[2(x+1)]
(x+1)4
= cos (2x) + (x+1)(3x+3−6x+2)
(x+1)4
= cos (2x) + (−3x+5)
(x+1)3
= cos (2x)− 3x−5
(x+1)3
3.(Caṕıtulo 9) Caracterize a função inversa da função real definida pela expressão
f(x) = 1 + ln(x− 3)
Entende-se por caracterização da função a indicação da respetiva expressão anaĺıtica, bem como
do seu domı́nio e contradomı́nio.
Resolução:
f(x) = 1 + ln(x− 3)

Df = {x ∈ R : x− 3 > 0} =]3,+∞[= D
′
f−1
D
′
f
= R = Df−1
y = 1 + ln(x− 3)⇔ ln(x− 3) = y − 1⇔ x− 3 = ey−1 ⇔ x = 3 + ey−1
f−1 : R → ]3,+∞[
x → 3 + ex−1
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4.(Caṕıtulo 7 e 9) Considere a função f , real de variável real:
f(x) =

−x2+1
x
se x ∈
[
−3π
2
, 0
[
sen x se x ∈
[
0, 3π
2
]
.
4.1 Determine os zeros da função.
Resolução:
f(x) = 0⇔

−x2+1
x
= 0⇔ −x2 + 1 = 0 ∧ x 6= 0⇔ x = ±1 ⇒
x∈[− 3π
2
,0[
x = −1
sen x = 0⇔ x = 0 + kπ k∈Z⇒
x∈[0, 3π2 ]
x = 0 ∨ x = π
C.S. = {−1, 0, π}
4.2 Determine, se posśıvel, lim
x→0
f(x).
Resolução:
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
(sen x) = sen (0+) = 0
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
−x2+1
x
= 1
−
0−
= −∞
⇒ /∃ limx→0 f(x)
4.3 Mostre que f(3x) = sen x (4 cos2 x− 1), se x ∈
[
0, 3π
2
]
.
Resolução:
x ∈
[
0, 3π
2
]
⇒ f(x) = sen x⇒ f(3x) = sen(3x) = sen(2x+ x) = sen(2x) cos x+ cos(2x)sen x
= 2sen x cos x cosx+ (cos2 x− sen2x) sen x = sen x (2 cos2 x+ cos2 x− sen2x)
= sen x (3 cos2 x− sen2x) = sen x [3 cos2 x− (1− cos2 x)] = sen x (4 cos2 x− 1)
5.(Caṕıtulo 8) Um circuito de câmaras de vigilância foi instalado numa Escola. Sabe-se que
a percentagem de câmaras a funcionar em perfeitas condições, t anos após a instalação, é dada
pelo seguinte modelo:
c(t) = 100× 0, 90,4t
5.1 Determine a percentagem de câmaras que não está a funcionar em perfeitas condições,
após 5 anos da instalação.
67
Resolução:
c(5) = 100× 0, 90,4×5 = 81% a funcionar ⇔ 19% a não funcionar
5.2 Considere que foram instaladas 50 câmaras. Após 2,5 anos foi feita uma inspeção a todas
elas. Determine o número de câmaras que não estavam a funcionar em perfeitas condições nessa
altura.
Resolução:
c(2, 5) = 100× 0, 90,4×2,5 = 90% a funcionar ⇔ 10% a não funcionar
10%× 50 = 5 câmaras
6.(Caṕıtulo 2 e 9) Sabendo que cosseno hiperbólico se representa por cosh x é dado por
cosh x = e
x+e−x
2
e seno hiperbólico (senh x) é dado por senh x = e
x−e−x
2
, mostre que
cosh2x− sinh2x=1.
Resolução:
cosh2 x − senh2 x =
(
ex+e−x
2
)2
−
(
ex−e−x
2
)2
=
[(
ex+e−x
2
)
−
(
ex−e−x
2
)] [(
ex+e−x
2
)
+
(
ex−e−x
2
)]
=
(
ex+e−x−ex+e−x
2
)(
ex+e−x+ex−e−x
2
)
= 2e
−x
2
× 2ex
2
= e−x × ex = e0 = 1
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	Prova de Matemática de 13/04/2019
	Grupo I
	Grupo II