De uma função f de domı́nio R, sabe-se que a sua derivada, f ′ é definida por: f ′(x) = -2x/(x^2 + 1)^2. Estude a função f quanto ao sentido d...

Para estudar o sentido das concavidades do gráfico da função f, precisamos analisar a segunda derivada da função. f''(x) = [d/dx (-2x/(x^2 + 1)^2)] = [2(x^4 - 6x^2 - 1)]/(x^2 + 1)^3 Para determinar o sinal de f''(x), podemos analisar o sinal do numerador e do denominador separadamente. O numerador é uma função quadrática com a < 0, portanto, tem um concavidade voltada para baixo. O denominador é sempre positivo. Assim, f''(x) < 0 para todo x em R. Isso significa que o gráfico de f é côncavo para baixo em todos os pontos. Para determinar a existência de pontos de inflexão, precisamos encontrar os valores de x em que a concavidade do gráfico muda. Isso ocorre quando f''(x) = 0 ou quando f''(x) não existe. f''(x) = 0 quando 2(x^4 - 6x^2 - 1) = 0. Isso ocorre quando x^4 - 6x^2 - 1 = 0. Infelizmente, não é possível encontrar uma solução exata para essa equação usando radicais. No entanto, podemos usar métodos numéricos para encontrar uma aproximação para as raízes. Usando um software de cálculo, podemos encontrar que existem duas raízes reais aproximadas em torno de x = -1,8 e x = 1,8. Portanto, a função f tem pontos de inflexão em torno de x = -1,8 e x = 1,8.