6. (Caṕıtulo 11) Seja h uma função, de domı́nio R, cuja derivada, h′, de domı́nio R, é dada por h′ (x) = (x+ 1)2 e2x+1. Estude a função h qua...

Para estudar a concavidade do gráfico de h, precisamos calcular a segunda derivada de h. h′′(x) = [2(x+1)e^(2x+1) + (x+1)^2 * 2e^(2x+1)] = [2(x+1) + (x+1)^2 * 2]e^(2x+1) Para determinar o sentido da concavidade, precisamos analisar o sinal de h′′(x). h′′(x) = [2(x+1) + (x+1)^2 * 2]e^(2x+1) > 0 para todo x real. Como h′′(x) é sempre positiva, concluímos que o gráfico de h é côncavo para cima em todo o seu domínio. Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos encontrar os valores de x onde a concavidade do gráfico de h muda. Isso ocorre quando h′′(x) = 0 ou quando h′′(x) não existe. h′′(x) = [2(x+1) + (x+1)^2 * 2]e^(2x+1) = 0 2(x+1) + (x+1)^2 * 2 = 0 2(x+1)[1 + (x+1)] = 0 x = -2 ou x = -1 Agora, precisamos verificar se esses pontos são de fato pontos de inflexão. Para isso, podemos analisar o sinal de h′′(x) em intervalos próximos a esses pontos. Para x < -2, temos h′′(x) < 0, o que indica que o gráfico de h é côncavo para baixo nesse intervalo. Para -2 < x < -1, temos h′′(x) > 0, o que indica que o gráfico de h é côncavo para cima nesse intervalo. Para -1 < x, temos h′′(x) > 0, o que indica que o gráfico de h é côncavo para cima nesse intervalo. Portanto, o ponto (-2, h(-2)) é um ponto de inflexão do gráfico de h. O ponto (-1, h(-1)) não é um ponto de inflexão, pois a concavidade não muda nesse ponto.