Um tanque cilíndrico tem uma área de seção transversal igual a 0,372 m? e está cheio de água até uma altura de 1,83 m. O formato do tanque é tal qu...

(i) Para encontrar um modelo matemático que relacione o tempo de esvaziamento e a altura da camada de líquido, podemos utilizar a equação da taxa mássica dada no enunciado: m = 16,44h. Sabemos que a taxa mássica é igual à variação da massa em relação ao tempo, ou seja, m = dm/dt. Além disso, a massa é igual à densidade vezes o volume, ou seja, m = ρV. No caso do tanque cilíndrico, o volume é dado por V = A*h, onde A é a área da seção transversal e h é a altura da camada de líquido. Portanto, temos: dm/dt = ρ*A*dh/dt Substituindo a equação da taxa mássica, temos: 16,44h = ρ*A*dh/dt dh/dt = (16,44h)/(ρ*A) Essa é a equação diferencial que relaciona a altura da camada de líquido com o tempo de esvaziamento. (ii) Para determinar o tempo máximo que a válvula no fundo do tanque pode permanecer aberta, devemos encontrar o tempo necessário para que a altura da camada de líquido atinja o valor mínimo permitido de 0,61 m. Podemos integrar a equação diferencial encontrada no item (i) para obter a relação entre a altura da camada de líquido e o tempo: ∫(1/h)dh = ∫(16,44/ρ*A)dt ln(h) = (16,44/ρ*A)*t + C onde C é a constante de integração. Para determinar C, podemos utilizar as condições iniciais do problema: no instante inicial, a altura da camada de líquido é de 1,83 m, ou seja, h(0) = 1,83. Substituindo na equação acima, temos: ln(1,83) = (16,44/ρ*A)*0 + C C = ln(1,83) Portanto, a equação que relaciona a altura da camada de líquido com o tempo é: ln(h) = (16,44/ρ*A)*t + ln(1,83) Podemos reescrever essa equação como: h = e^[(16,44/ρ*A)*t + ln(1,83)] Para determinar o tempo máximo que a válvula pode permanecer aberta, devemos encontrar o valor de t para o qual h = 0,61 m: 0,61 = e^[(16,44/ρ*A)*t + ln(1,83)] ln(0,61) = (16,44/ρ*A)*t + ln(1,83) t = [ln(0,61) - ln(1,83)]/(16,44/ρ*A) Substituindo os valores dados no enunciado (ρ = 1000 kg/m³ e A = 0,372 m²), temos: t = [ln(0,61) - ln(1,83)]/(16,44/(1000*0,372)) t ≈ 3,8 minutos Portanto, o tempo máximo que a válvula no fundo do tanque pode permanecer aberta é de aproximadamente 3,8 minutos.