17) (ITA) Dos n alunos de um colégio, cada um estuda pelo menos uma das três matérias: Matemática, Física e Química. Sabe-se que 48% dos alunos est...

Vamos utilizar o Princípio da Inclusão-Exclusão para resolver o problema. Seja M, F e Q o conjunto de alunos que estudam Matemática, Física e Química, respectivamente. Temos que: |M| = 48% de n |Q| = 32% de n |F| = 36% de n |F ∩ M| = 8% de n |M ∩ Q ∩ F| = 4% de n Queremos determinar o valor de n, sabendo que: |(Q ∩ F) ∪ (M ∩ Q)| = |(Q ∩ F)| + |(M ∩ Q)| - |(Q ∩ F) ∩ (M ∩ Q)| = |(Q ∩ F)| + |(M ∩ Q)| - |(M ∩ Q ∩ F)| = (|Q| + |M| - |M ∩ Q|) + (|Q| - |Q ∩ F|) - |M ∩ Q ∩ F| + |(M ∩ Q ∩ F)| = |Q| + |M| - |M ∩ Q| + |Q| - |Q ∩ F| + |M ∩ Q ∩ F| = 63 Substituindo pelos valores conhecidos, temos: 0,32n + 0,48n - |M ∩ Q| + 0,32n - |Q ∩ F| + |M ∩ Q ∩ F| = 63 Simplificando: 1,12n - |M ∩ Q| - |Q ∩ F| + |M ∩ Q ∩ F| = 63 Mas sabemos que: |M ∩ Q ∩ F| = 0,04n |Q ∩ F| = |(Q ∩ F) ∩ (M ∩ Q)| + |(Q ∩ F) ∩ (M ∩ F)| = |(Q ∩ F) ∩ (M ∩ Q)| = 0,04n |M ∩ Q| = |(M ∩ Q) ∩ (Q ∩ F)| + |(M ∩ Q) ∩ (M ∩ F)| = |(M ∩ Q) ∩ (Q ∩ F)| = 0,08n Substituindo novamente, temos: 1,12n - 0,08n - 0,04n + 0,04n = 63 Resolvendo a equação, encontramos: n = 900 Portanto, o valor de n é 900.