15. (ITA 1985) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, considere a família de circunferências que passam pelo ponto 1 2, 2− e que são t...

Question

15. (ITA 1985) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, considere a família de circunferências que passam pelo ponto 1 2, 2− e que são tangenciadas pela reta 3 y 2= − . Então, a equação do lugar geométrico dos centros dessas circunferências é dada por:

a) x² 4x 2y 2 0− − − =
b) y² 2y 5x 2 0− − − =
c) x² 2x 7y 3 0+ − + =
d) y² 4y 2x 3 0− − − =
e) x² y² 2x y 2 0+ − + − =

Ed · Answer

Para encontrar a equação do lugar geométrico dos centros das circunferências, podemos utilizar a seguinte estratégia:

1. Escrever a equação geral de uma circunferência que passa pelo ponto (1,2) e tem centro (x,y):
(x - 1)² + (y - 2)² = r²

2. Encontrar a equação da reta tangente a essa circunferência no ponto (2,-3):
(x - 1)(2 - 1) + (y - 2)(-3 - 2) = r²
x - 5y + 13 = r²

3. Substituir a equação da reta tangente na equação geral da circunferência e simplificar:
(x - 1)² + (y - 2)² = (x - 5y + 13)²
x² - 2x + 1 + y² - 4y + 4 = x² - 10xy + 25y² + 26x - 26y + 169
9x² - 22xy + 9y² - 24x + 22y - 164 = 0

Portanto, a alternativa correta é a letra A) x² - 4x + 2y² = 0.

15. (ITA 1985) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, considere a família de circunferências que passam pelo ponto 1 2, 2− e que são t...

Matemática Aplicada

Colégio Objetivo

Essa pergunta também está no material:

Lista 2_ Circunferência

Matemática Aplicada • Universidade Católica de BrasíliaUniversidade Católica de Brasília

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