Na figura abaixo, os pontos A, B e C são vértices de um triângulo retângulo, sendo B o ângulo reto. Sabendo-se que A =(0,0), B pertence à reta x - ...

Sabendo que B pertence à reta x - 2y = 0, podemos substituir x por 2y na equação da reta, obtendo B = (2y, y). Como P é o centro da circunferência inscrita no triângulo ABC, a distância de P a cada um dos vértices do triângulo é igual ao raio da circunferência inscrita. Assim, temos: d(P,A) = d(P,B) = d(P,C) = r Onde d(P,Q) representa a distância entre os pontos P e Q. Sabemos que A = (0,0) e B = (2y, y). Portanto, podemos calcular a distância entre P e A: d(P,A) = √[(3-0)² + (4-0)²] = 5 Para calcular a distância entre P e B, podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos: d(P,B) = √[(3-2y)² + (4-y)²] Como d(P,A) = d(P,B), temos: √[(3-2y)² + (4-y)²] = 5 Simplificando a equação, temos: (3-2y)² + (4-y)² = 25 9 - 12y + 4y² + 16 - 8y + y² = 25 5y² - 20y = 0 y² - 4y = 0 y(y-4) = 0 Portanto, y = 0 ou y = 4. Se y = 0, temos B = (0,0), o que não é possível, pois B pertence à reta x - 2y = 0 e não à origem. Assim, temos y = 4 e B = (8,4). Como B é o vértice do triângulo retângulo ABC que está sobre a reta x - 2y = 0, temos que a reta que passa por A e B é perpendicular à reta x - 2y = 0. Portanto, a inclinação da reta AB é igual a 2. Como o triângulo ABC é retângulo em B, a reta que passa por A e C é perpendicular à reta que passa por B e C. Portanto, a inclinação da reta AC é igual a -1/2. Sabemos que a reta AB passa pelos pontos A = (0,0) e B = (8,4). Portanto, sua equação é: y = 2x A reta AC passa pelo ponto A = (0,0) e tem inclinação -1/2. Portanto, sua equação é: y = -1/2 x Para encontrar o ponto C, basta encontrar a interseção entre as retas AB e AC. Substituindo y = 2x na equação y = -1/2 x, temos: 2x = -1/2 x 5/2 x = 0 x = 0 Substituindo x = 0 na equação y = 2x, temos: y = 0 Portanto, C = (0,0). Assim, as coordenadas dos vértices B e C são B = (8,4) e C = (0,0).