Determine um polinômio com coeficientes inteiros que possui √2+ 3√3 como raiz.

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Para determinar um polinômio com coeficientes inteiros que possui √2+ 3√3 como raiz, podemos utilizar o seguinte método: 1. Sabemos que se uma raiz é √2+ 3√3, então sua conjugada também é raiz, ou seja, √2- 3√3. 2. Para obter o polinômio, basta multiplicar os fatores (x - √2- 3√3) e (x - √2+ 3√3), que são as expressões que correspondem às raízes. 3. Realizando a multiplicação, obtemos: (x - √2- 3√3)(x - √2+ 3√3) = x² - (√2+ 3√3 + √2- 3√3)x + (√2- 3√3)(√2+ 3√3) (x - √2- 3√3)(x - √2+ 3√3) = x² - 6x + 19 Portanto, o polinômio com coeficientes inteiros que possui √2+ 3√3 como raiz é x² - 6x + 19.

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Determine o número de ráızes reais da equação x1994 − x2 + 1 = 0. (a) 0 (b) 2 (c) 4 (d) 1994

(a) 0
(b) 2
(c) 4
(d) 1994

Prove que o polinômio 4x8− 2x7 +x6− 3x4+x2−x+1 não possui ráızes reais.

Seja P (x) = a2000x 2000 + a1999x 1999 + a1998x 1998 + . . .+ a1x+ a0. Então a2000 + a1998 + a1996 + . . .+ a0 é igual a:
(a) P (1)− P (−1) 2
(b) P (1) + P (−1) 2
(c) P (2000)+P (1998)+ . . .+P (0)
(d) P (0) · P (1)
(e) P (−1) · P (1)

O polinômio P (x) = xn + a1x n−1 + a2x n−2 + . . .+ an−1x+ an com coeficientes inteiros a1, a2, . . . , an, é tal que existem quatro inteiros distintos a, b, c, d tais que P (a) = P (b) = P (c) = P (d) = 5, mostre que não existe um inteiro k tal que P (k) = 8.

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Determine o número de ráızes reais da equação x1994 − x2 + 1 = 0. (a) 0 (b) 2 (c) 4 (d) 1994

(a) 0
(b) 2
(c) 4
(d) 1994

Prove que o polinômio 4x8− 2x7 +x6− 3x4+x2−x+1 não possui ráızes reais.

Seja P (x) = a2000x 2000 + a1999x 1999 + a1998x 1998 + . . .+ a1x+ a0. Então a2000 + a1998 + a1996 + . . .+ a0 é igual a:
(a) P (1)− P (−1) 2
(b) P (1) + P (−1) 2
(c) P (2000)+P (1998)+ . . .+P (0)
(d) P (0) · P (1)
(e) P (−1) · P (1)

O polinômio P (x) = xn + a1x n−1 + a2x n−2 + . . .+ an−1x+ an com coeficientes inteiros a1, a2, . . . , an, é tal que existem quatro inteiros distintos a, b, c, d tais que P (a) = P (b) = P (c) = P (d) = 5, mostre que não existe um inteiro k tal que P (k) = 8.

Se x2+2x+5 é um fator de x4+px2+q, os valores de p e q são, respectivamente:
(a) −2, 5
(b) 5, 25
(c) 10, 20
(d) 6, 25
(e) 14, 25

Determine o valor de a b se 2x4 − 3x3 + ax2 + 7x+ b é diviśıvel por x2 + x− 2.

O resto R(x) obtido pela divisão de x100 por x2 − 3x + 2 é um polinômio de grau menor que 2. Determine R(x).

Determine o resto da divisão de x3 − 2 quando dividido por x2 − 2.

Determine o produto dos coeficientes do resto da divisão de x100−4x98+5x+6 por x3 − 2x2 − x+ 2.

Qual o resto da divisão de x18 + 1 por x− 1?

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Determine o número de ráızes reais da equação x1994 − x2 + 1 = 0. (a) 0 (b) 2 (c) 4 (d) 1994(a) 0(b) 2(c) 4(d) 1994

Prove que o polinômio 4x8− 2x7 +x6− 3x4+x2−x+1 não possui ráızes reais.

Seja P (x) = a2000x 2000 + a1999x 1999 + a1998x 1998 + . . .+ a1x+ a0. Então a2000 + a1998 + a1996 + . . .+ a0 é igual a:(a) P (1)− P (−1) 2(b) P (1) + P (−1) 2(c) P (2000)+P (1998)+ . . .+P (0)(d) P (0) · P (1)(e) P (−1) · P (1)

O polinômio P (x) = xn + a1x n−1 + a2x n−2 + . . .+ an−1x+ an com coeficientes inteiros a1, a2, . . . , an, é tal que existem quatro inteiros distintos a, b, c, d tais que P (a) = P (b) = P (c) = P (d) = 5, mostre que não existe um inteiro k tal que P (k) = 8.

Se x2+2x+5 é um fator de x4+px2+q, os valores de p e q são, respectivamente:(a) −2, 5(b) 5, 25(c) 10, 20(d) 6, 25(e) 14, 25

Determine o valor de a b se 2x4 − 3x3 + ax2 + 7x+ b é diviśıvel por x2 + x− 2.

O resto R(x) obtido pela divisão de x100 por x2 − 3x + 2 é um polinômio de grau menor que 2. Determine R(x).

Determine o resto da divisão de x3 − 2 quando dividido por x2 − 2.

Determine o produto dos coeficientes do resto da divisão de x100−4x98+5x+6 por x3 − 2x2 − x+ 2.

Qual o resto da divisão de x18 + 1 por x− 1?

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(a) 0
(b) 2
(c) 4
(d) 1994

Seja P (x) = a2000x 2000 + a1999x 1999 + a1998x 1998 + . . .+ a1x+ a0. Então a2000 + a1998 + a1996 + . . .+ a0 é igual a:
(a) P (1)− P (−1) 2
(b) P (1) + P (−1) 2
(c) P (2000)+P (1998)+ . . .+P (0)
(d) P (0) · P (1)
(e) P (−1) · P (1)

Se x2+2x+5 é um fator de x4+px2+q, os valores de p e q são, respectivamente:
(a) −2, 5
(b) 5, 25
(c) 10, 20
(d) 6, 25
(e) 14, 25