(ITA-82) Sendo A uma matriz real quadrada de ordem 3, cujo determinante é igual a 4, qual o valor de x na equação det ( 2 AAt ) = 4x ? a) 4 b) 8 ...

Podemos utilizar a propriedade de que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes. Assim, temos: det(2AAt) = 2³ det(AAt) = 8 det(AAᵀ) Como A é uma matriz real quadrada de ordem 3, temos que AAᵀ é uma matriz simétrica de ordem 3. Além disso, o determinante de uma matriz simétrica é igual ao produto de seus autovalores. Portanto, temos: det(AAᵀ) = λ₁ λ₂ λ₃ Onde λ₁, λ₂ e λ₃ são os autovalores de AAᵀ. Como AAᵀ é uma matriz simétrica, seus autovalores são reais. Além disso, temos que: det(AAᵀ) = (det(A))² = 4² = 16 Substituindo na equação inicial, temos: det(2AAt) = 8 det(AAᵀ) = 8.16 = 128 Portanto, temos: 4x = 128 x = 32 Assim, a alternativa correta é a letra d).