(ITA-91) Sejam m e n números reais com m ≠ n e as matrizes: A = 2 1 3 5       , B = −      1 1 0 1 . Para que a matriz mA + nB seja...

Para que a matriz mA + nB seja não inversível, é necessário que o determinante dessa matriz seja igual a zero. Assim, temos que: mA + nB = m * A + n * B = m * 2 1 3 5 + n * -1 1 0 1 = (2m - n) m 3m (5n + 1) O determinante dessa matriz é dado por: det(mA + nB) = (2m - n) * (5n + 1) - 3m * m = 10mn - 3m² - 5n - n Para que a matriz seja não inversível, o determinante deve ser igual a zero: 10mn - 3m² - 5n - n = 0 Simplificando a expressão, temos: 3m² - 10mn + 6n = 0 Dividindo toda a expressão por m, temos: 3m - 10n + 6n/m = 0 Como m é diferente de n, temos que 6n/m é diferente de 6. Portanto, a única opção que satisfaz a condição é a letra C) m e n tenham sinais contrários.