Grátis: 4. (FEIUC1964) Determinar o volume do octaedro cujos vértices são os pontos médios das faces do paralelepípedo reto-retângulo de dimensões , ,a b ...

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4. (FEIUC1964) Determinar o volume do octaedro cujos vértices são os pontos médios das faces do paralelepípedo reto-retângulo de dimensões , ,a b c .

Aprimorando com Questões

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Lista 5_ Octaedros e Pirâmides

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Para determinar o volume do octaedro cujos vértices são os pontos médios das faces do paralelepípedo reto-retângulo de dimensões a, b e c, podemos utilizar a seguinte fórmula: V = (a * b * c) / 3 Onde "V" é o volume do paralelepípedo. Em seguida, podemos calcular a diagonal do paralelepípedo utilizando o teorema de Pitágoras: d² = a² + b² + c² d = √(a² + b² + c²) Com a diagonal do paralelepípedo, podemos calcular o comprimento da diagonal do octaedro, que é dado por: D = √2 * d Por fim, o volume do octaedro é dado por: V_octaedro = (sqrt(2) / 3) * D³ Substituindo o valor de "D" na fórmula acima, temos: V_octaedro = (sqrt(2) / 3) * (√2 * √(a² + b² + c²))³ Simplificando, temos: V_octaedro = (sqrt(2) / 3) * 2 * (a² + b² + c²) * √(a² + b² + c²) Portanto, o volume do octaedro é (sqrt(2) / 3) * 2 * (a² + b² + c²) * √(a² + b² + c²).

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1. (Pucrj 2010) Um octaedro é um poliedro regular cujas faces são oito triângulos equiláteros, conforme indicado na figura. Para um octaedro de aresta a: a) Qual é a sua área total? b) Qual é o seu volume? c) Qual é a distância entre duas faces opostas?

3. (ITA 2009) Os pontos A=(3;4) e B=(4;3) são vértices de um cubo em que AB é uma de suas arestas. A área lateral do octaedro cujos vértices são os pontos médios das faces do cubo é:

5. Determine o volume do sólido que se obtém ligando os centros das faces de um octaedro regular.

6. Indique que tipo de região é a secção determinada no octaedro regular PABCDL, por um plano que contem os pontos médios das arestas PC, AD e LC.

7. Em um hexaedro regular ABCD-EFGH, tomam-se os centros O1 e O2 das faces DCGH e EFGH respectivamente, tal que a distância de O1 a BO2 é √33 . Calcule a área da superfície do poliedro conjugado inscrito no hexaedro.

8. Em um octaedro regular L-ABCD-S , tomam-se os pontos K e E em BL e SD respectivamente, tal que KE contem o centro O do octaedro, SE=2KB e a área da região triangular EOD é 3. Calcule o volume do octaedro.

9. Em um octaedro regular P-ABCD-Q, tomam-se os pontos médios M,N, T e H de AQ, DQ, CQ e QB respectivamente. Calcule a razão dos volumes entre o octaedro e a pirâmide P-MHTN.

10. (EESCUSP1955) Dado um tetraedro regular, estudar o poliedro P que tem como vértice os pontos médios das arestas do tetraedro. Se � é o lado do tetraedro, calcular a área total e o volume de P.

12. (IME 1983) Uma pirâmide de vértice V e base ABCD constitui a metade de um octaedro regular de aresta a . a) Determine em função de a , os raios das esferas mediais( esferas que passam pelos pontos médios das arestas do poliedro) , circunscrita e inscrita. b) Marcam-se sobre VA e VB os segmentos VA’=VB’=x ; marcam-se sobre VC e VD os segmentos VC’=VD’ =y .Supõe-se que x e y variam sob a condição de x+y=a. Determine x e y , em função de a , de forma que a área do quadrilátero A’B’C’D’ seja igual a 2a 4.

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