7. Em um hexaedro regular ABCD-EFGH, tomam-se os centros O1 e O2 das faces DCGH e EFGH respectivamente, tal que a distância de O1 a BO2 é √33 . Calcule a área da superfície do poliedro conjugado inscrito no hexaedro.

Question

7. Em um hexaedro regular ABCD-EFGH,  tomam-se os centros O1 e O2 das faces DCGH e EFGH respectivamente, tal que a distância de O1 a BO2 é √33 . Ca...

Ed · Answer

Para calcular a área da superfície do poliedro conjugado inscrito no hexaedro, podemos utilizar a fórmula:

A = (1/2) * n * a

Onde "n" é o número de arestas do poliedro conjugado e "a" é o comprimento de cada aresta.

Para encontrar o número de arestas do poliedro conjugado, podemos utilizar a fórmula de Euler:

V - A + F = 2

Onde "V" é o número de vértices do poliedro, "A" é o número de arestas e "F" é o número de faces.

No caso do poliedro conjugado inscrito no hexaedro regular, temos que:

- O número de vértices é igual ao número de faces do hexaedro regular, ou seja, 6.
- Cada face do hexaedro regular é um quadrado, então o número de arestas é igual a 12.
- O número de faces do poliedro conjugado é igual ao número de vértices do hexaedro regular, ou seja, 8.

Substituindo esses valores na fórmula de Euler, temos:

6 - 12 + 8 = 2

Logo, o número de arestas do poliedro conjugado é igual a 10.

Agora precisamos encontrar o comprimento de cada aresta do poliedro conjugado. Para isso, podemos utilizar a distância entre os centros O1 e O2 das faces DCGH e EFGH, que é √33.

Observe que a distância entre os centros O1 e O2 é igual à diagonal do cubo ABCDEFGH. Como o hexaedro regular é formado por seis faces quadradas, cada uma com aresta de comprimento "a", temos que a diagonal do cubo é igual a √3 * a.

Assim, temos a equação:

√33 = √3 * a

Isolando o valor de "a", temos:

a = √11

Substituindo os valores encontrados na fórmula da área do poliedro conjugado, temos:

A = (1/2) * 10 * √11

A = 5√11

Portanto, a área da superfície do poliedro conjugado inscrito no hexaedro regular é igual a 5√11.

Geometria

Lista 5_ Octaedros e Pirâmides

Respostas

Crie sua conta grátis para liberar essa resposta. 🤩

Ainda com dúvidas?

Essa pergunta também está no material:

Lista 5_ Octaedros e Pirâmides

1. (Pucrj 2010) Um octaedro é um poliedro regular cujas faces são oito triângulos equiláteros, conforme indicado na figura. Para um octaedro de aresta a: a) Qual é a sua área total? b) Qual é o seu volume? c) Qual é a distância entre duas faces opostas?

3. (ITA 2009) Os pontos A=(3;4) e B=(4;3) são vértices de um cubo em que AB é uma de suas arestas. A área lateral do octaedro cujos vértices são os pontos médios das faces do cubo é:

4. (FEIUC1964) Determinar o volume do octaedro cujos vértices são os pontos médios das faces do paralelepípedo reto-retângulo de dimensões , ,a b c .

5. Determine o volume do sólido que se obtém ligando os centros das faces de um octaedro regular.

6. Indique que tipo de região é a secção determinada no octaedro regular PABCDL, por um plano que contem os pontos médios das arestas PC, AD e LC.

8. Em um octaedro regular L-ABCD-S , tomam-se os pontos K e E em BL e SD respectivamente, tal que KE contem o centro O do octaedro, SE=2KB e a área da região triangular EOD é 3. Calcule o volume do octaedro.

9. Em um octaedro regular P-ABCD-Q, tomam-se os pontos médios M,N, T e H de AQ, DQ, CQ e QB respectivamente. Calcule a razão dos volumes entre o octaedro e a pirâmide P-MHTN.

10. (EESCUSP1955) Dado um tetraedro regular, estudar o poliedro P que tem como vértice os pontos médios das arestas do tetraedro. Se � é o lado do tetraedro, calcular a área total e o volume de P.

Mais conteúdos dessa disciplina