20. (FEIUC-55) A base de uma pirâmide de vértice V é um hexágono regular ABCDEF, sendo AB=6cm. A aresta lateral VA é perpendicular ao plano da bas...

a) Para provar que quatro faces laterais são triângulos retângulos, podemos observar que a aresta lateral VA é perpendicular ao plano da base e que o segmento AD é igual a VA. Além disso, temos que AB = 6cm. Podemos traçar o segmento VF, que é perpendicular ao plano da base e passa pelo centro do hexágono. Como ABCDEF é um hexágono regular, temos que VF é perpendicular a AB e que VF = AB/2 = 3cm. Assim, temos que o triângulo VAF é retângulo em A, pois VA é perpendicular a VF. Além disso, temos que o triângulo VAD é retângulo em A, pois VA é igual a AD. Podemos agora calcular a área de cada um dos quatro triângulos retângulos. Temos que a hipotenusa é VA, que mede 6cm. A altura de cada triângulo é metade de AB, ou seja, 3cm. Assim, a área de cada triângulo é dada por: área = (cateto1 x cateto2)/2 = (3 x 6)/2 = 9cm² b) Para determinar o volume da pirâmide, podemos usar a fórmula: volume = (área da base x altura)/3 A área da base é dada pela área do hexágono ABCDEF, que é um hexágono regular. Podemos dividir ABCDEF em seis triângulos equiláteros, cada um com lado AB = 6cm. Assim, a área de cada triângulo é dada por: área do triângulo = (lado² x √3)/4 = (6² x √3)/4 = 9√3 cm² A área da base é então dada por: área da base = 6 x área do triângulo = 54√3 cm² A altura da pirâmide é dada por VF, que mede 3cm. Assim, temos que o volume da pirâmide é: volume = (área da base x altura)/3 = (54√3 x 3)/3 = 54√3 cm³