12. (Escola Naval 2001) Um poliedro convexo de 25 arestas tem faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. O número de faces quadrangulares va...

Vamos utilizar a fórmula de Euler para poliedros convexos: V + F - A = 2, onde V é o número de vértices, F é o número de faces e A é o número de arestas. Sabemos que o poliedro tem 25 arestas. Além disso, podemos chamar o número de faces triangulares de x, o número de faces quadrangulares de y e o número de faces pentagonais de z. Temos as seguintes informações: y = 2z (o número de faces quadrangulares vale o dobro do número de faces pentagonais) x = y + 4 (o número de faces triangulares excede o de faces quadrangulares em 4 unidades) x + y + z = F (o número total de faces é a soma das faces triangulares, quadrangulares e pentagonais) Substituindo as duas primeiras equações na terceira, temos: x + 3z = F Substituindo essa equação na fórmula de Euler, temos: V + x + y + z - 25 = 2 V + (x + y + z) = 27 V + (x + 3z) = 27 V + F = 27 Portanto, o número de vértices mais o número de faces é igual a 27. Como o número de faces é x + y + z, temos: x + y + z + V = 27 Substituindo as equações que temos para x, y e z, temos: x + 2z + z + V = 27 x + 3z + V = 27 V = 27 - x - 3z Agora podemos testar as alternativas: a) Se o número de vértices fosse 14, teríamos que o número de faces seria 13 (pela fórmula de Euler). Mas isso implicaria em x = 9, y = 6 e z = 3, o que não satisfaz as condições do enunciado (y = 2z e x = y + 4). b) Se o número de vértices fosse 13, teríamos que o número de faces seria 14 (pela fórmula de Euler). Mas isso implicaria em x = 10, y = 4 e z = 2, o que não satisfaz as condições do enunciado (y = 2z e x = y + 4). c) Se o número de vértices fosse 11, teríamos que o número de faces seria 15 (pela fórmula de Euler). Mas isso implicaria em x = 11, y = 4 e z = 2, o que não satisfaz as condições do enunciado (y = 2z e x = y + 4). d) Se o número de vértices fosse 10, teríamos que o número de faces seria 16 (pela fórmula de Euler). Isso implicaria em x = 12, y = 4 e z = 2, o que satisfaz as condições do enunciado. Portanto, a alternativa correta é a letra d). Logo, o número de vértices deste poliedro é 10.