06. (FEI 1961) Um poliedro convexo com faces quadrangulares e pentagonais tem 15 arestas. Calcular o número de faces quadrangulares e o número de f...

Seja Q o número de faces quadrangulares e P o número de faces pentagonais. Temos que a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é igual a (n-2) x 180 graus. Assim, a soma dos ângulos internos das faces quadrangulares é 4(Q-2) x 180 graus e a soma dos ângulos internos das faces pentagonais é 5(P-2) x 180 graus. Como a soma de todos os ângulos das faces é 32 retos, temos: 4(Q-2) x 180 + 5(P-2) x 180 = 32 x 180 Resolvendo essa equação, obtemos: Q + P = 12 Também sabemos que o número de arestas é dado por: A = (4Q + 5P)/2 Substituindo A = 15, temos: 4Q + 5P = 30 Multiplicando a equação anterior por 4 e subtraindo da equação Q + P = 12, obtemos: P = 6 Substituindo P = 6 na equação 4Q + 5P = 30, temos: Q = 3 Portanto, o número de faces quadrangulares é 3 e o número de faces pentagonais é 6.