19. (OBM 84) Seja um dodecaedro regular de aresta a. Sejam F, F’ e E , E’ dois pares de faces opostas. A partir dos centros destas quatro faces tra...

Para mostrar que ABCD é um retângulo, precisamos mostrar que seus lados opostos são paralelos e que seus ângulos internos são retos. Primeiro, observe que as faces opostas do dodecaedro são congruentes e paralelas. Portanto, as perpendiculares traçadas a partir dos centros dessas faces são paralelas duas a duas. Além disso, cada face do dodecaedro é um pentágono regular, e as diagonais de um pentágono regular se encontram em um ângulo de 36 graus. Portanto, os ângulos entre as perpendiculares traçadas a partir dos centros das faces opostas são de 72 graus. Agora, considere o triângulo AFB. Este triângulo é isósceles, pois AF = AB (ambos são perpendiculares à face F). Além disso, o ângulo AFB é de 72 graus (como explicado acima). Portanto, os ângulos BAF e AFB têm medidas iguais a (180 - 72)/2 = 54 graus. Da mesma forma, podemos mostrar que os ângulos CFE e DFE têm medidas iguais a 54 graus. Agora, observe que os ângulos BAF e CFE são ângulos opostos pelo vértice, e portanto têm medidas iguais. Da mesma forma, os ângulos AFB e DFE têm medidas iguais. Portanto, os ângulos opostos do retângulo ABCD têm medidas iguais a 54 graus. Para encontrar a razão entre os lados do retângulo, observe que AB = AF e CD = CE (ambos são perpendiculares às faces opostas). Além disso, AF = CE (pois as faces opostas são congruentes). Portanto, AB = CD. Além disso, observe que AB = a/2 (pois AF é perpendicular à face F, que é um pentágono regular de aresta a). Da mesma forma, CD = a/2. Portanto, a razão entre os lados do retângulo é 1:1. Concluímos que ABCD é um retângulo com lados de mesma medida.