8. (ITA 2000) Duas retas r1 e r2 são paralelas à reta 3x - y = 37 e tangentes à circunferência 2 2x y 2x y 0    . Se d1 é a distância de r1 at...

Para resolver esse problema, podemos utilizar algumas propriedades da geometria analítica. Primeiramente, vamos encontrar a equação da circunferência: 2x² + 2y² - 2x - 2y = 0 x² + y² - x - y = 0 x² - x + y² - y = 0 (x² - x + 1/4) + (y² - y + 1/4) = 1/2 + 1/2 (x - 1/2)² + (y - 1/2)² = 1 Portanto, a circunferência tem centro em (1/2, 1/2) e raio igual a 1. A reta 3x - y = 37 pode ser escrita na forma y = 3x - 37. Como as retas r1 e r2 são paralelas a essa reta, elas também têm coeficiente angular igual a 3. Além disso, como são tangentes à circunferência, a distância entre o centro da circunferência e cada uma das retas é igual ao raio da circunferência. Vamos encontrar a equação das retas r1 e r2. Sabemos que elas têm coeficiente angular igual a 3 e passam pelos pontos de tangência com a circunferência. Esses pontos de tangência são obtidos ao resolver o sistema formado pelas equações da reta e da circunferência: y = 3x - 37 (x - 1/2)² + (y - 1/2)² = 1 Substituindo y na segunda equação, temos: (x - 1/2)² + (3x - 39/2)² = 1 10x² - 78x + 145/2 = 0 Resolvendo essa equação do segundo grau, encontramos: x1 = 3/2 e x2 = 9/5 Substituindo esses valores na equação da reta, encontramos os pontos de tangência: r1: (3/2, 7/2) e r2: (9/5, 8/5) Agora podemos calcular as distâncias d1 e d2: d1 = √(3/2)² + (7/2)² = √58/2 d2 = √(9/5)² + (8/5)² = √145/5 Portanto, d1 + d2 = √58/2 + √145/5 = (5√58 + 2√145)/10 ≈ 4,98 A resposta mais próxima é a alternativa E) 5.