57. ITA-SP Duas retas r1 e r2 são paralelas à reta 3x – y = 37 e tangentes à circunferência x2 + y2 – 2x – y = 0. Se d1 é a distância de r1 até a o...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a seguinte estratégia: 1. Encontrar o centro e o raio da circunferência. 2. Encontrar as equações das retas r1 e r2. 3. Encontrar as distâncias d1 e d2. 4. Calcular d1 + d2. 1. Para encontrar o centro e o raio da circunferência, podemos completar o quadrado da equação x² + y² - 2x - y = 0: x² - 2x + y² - y = 0 (x - 1)² - 1 + (y - 1/2)² - 1/4 = 0 (x - 1)² + (y - 1/2)² = 5/4 Portanto, o centro da circunferência é (1, 1/2) e o raio é √(5/4) = √5/2. 2. As retas r1 e r2 são paralelas à reta 3x - y = 37, então têm a mesma inclinação. A inclinação da reta 3x - y = 37 é 3, então as equações das retas r1 e r2 são da forma y = 3x + b1 e y = 3x + b2, respectivamente. 3. Para encontrar as distâncias d1 e d2, podemos usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta: d = |ax + by + c| / √(a² + b²) Para a reta r1, temos a = 3, b = -1 e c = -37. Substituindo o ponto (0, 0) na fórmula, obtemos: d1 = |3(0) - 1(0) - 37| / √(3² + (-1)²) = 37 / √10 Para a reta r2, temos os mesmos valores de a, b e c. Substituindo o ponto (0, 0) na fórmula, obtemos: d2 = |3(0) - 1(0) - 37| / √(3² + (-1)²) = 37 / √10 4. Finalmente, podemos calcular d1 + d2: d1 + d2 = 37 / √10 + 37 / √10 = 74 / √10 = 7√10 Portanto, a alternativa correta é a letra C).