Determine a condição para que as raízes (reais) da equação 3 0+ + =x qx r estejam em PA.

Para que as raízes (reais) da equação 3x² + qx + r = 0 estejam em PA, é necessário que a razão entre as raízes seja constante. Sejam as raízes da equação x1 e x2, com x1 < x2. Então, temos: x2 - x1 = k, onde k é a razão da PA. Podemos escrever x2 = x1 + k. Sabemos que a soma das raízes é dada por: x1 + x2 = -q/3 Substituindo x2 por x1 + k, temos: x1 + (x1 + k) = -q/3 2x1 + k = -q/3 x1 = (-q/3 - k)/2 Substituindo x1 em x2 = x1 + k, temos: x2 = (-q/3 + k)/2 Agora, vamos verificar a condição para que as raízes estejam em PA: (x2 - x1)/x1 = k/x1 Substituindo x1 e x2, temos: k/((-q/3 - k)/2) = k/((-q/3 + k)/2) Simplificando, temos: (-q/3 - k)/(-q/3 + k) = 1 -q/3 - k = -q/3 + k 2k = 0 k = 0 Portanto, a condição para que as raízes (reais) da equação 3x² + qx + r = 0 estejam em PA é que a razão entre as raízes seja igual a zero, ou seja, as raízes devem ser iguais.