Lista 2_ PA e PG

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LISTA 2 PA & PG 
 
 
Prof. Joãozinho 
 
1 
 
1. São dados os números l, m e n (inteiros, positivos e distintos). Na PA 
em que =la m e =ma l , determine o termo na . 
2. Calcule a razão da PA em que 
8 18=a e r, 2a e 4a formam, nesta 
ordem, outra PA. 
3. Determine o maior valo que pode ter a razão de uma PA que admita 
32, 227 e 942 como termos. 
4. As somas dos n primeiros termos de duas PAs estão na razão 
7 1
4 27
+
+
n
n
 . Determine a razão entre seus sétimos termos. 
5. A soma dos n primeiros termos de uma PA de razão 2 e 153. Se o 
primeiro termo é inteiro, determine os valores possíveis de n. 
6. Numa PA com um número ímpar de termos, a soma dos termos de 
ordem ímpar é A e a soma dos termos de ordem par, B. Ache o 
número de termos. 
7. Numa PA de quatro termos, os dois primeiros são as raízes da 
equação ( )2 1 2 0+ − + − =ax a x a e os dois últimos, as da equação 
( )2 9 5(a 2) 0− − + + =ax a x . Calcule a para que tal fato se verifique. 
8. Determine a condição para que as raízes (reais) da equação 
3 0+ + =x qx r estejam em PA. 
9. Determine m para que as raízes da equação 
( ) ( )
24 23 4 1 0x m x m− + + + = estejam em PA. Calcule em 
seguida as raízes. 
10. Determine quatro números em PA conhecendo-se sua soma 26 e a 
soma dos seus quadrados, 214. 
11. Determine cinco números em PA conhecendo-se sua soma 40 e a 
soma dos inversos dos extremos. 1/3. 
12. Os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo estão em PA. 
Demonstre que a razão da PA é igual ao raio do círculo incrito no 
triangulo e que os comprimentos dos lados são diretamente 
proporcionais aos números 3,4 e 5. 
13. As medidas ângulos de um triângulo estão em PA, e os comprimentos 
das alturas do mesmo triangulo também estão em PA. Demonstre que 
o triângulo é equilátero. 
14. A soma de três números em PA é 1S e a soma de seus quadrados 
2S . Calcule esses números, sabendo-se que os dois maiores são 
as raízes da equação 22 1(S 2) 1 04
 
− + + + = 
 
S
x x . 
15. O primeiro termo de uma PA de inteiros consecutivos é 2 1+k . 
Calcule a soma dos 2k+1. 
16. Determine três números em PG conhecendo sua soma 19 e a soma 
de seus quadrados, 133. 
17. Os lados de um triângulo qualquer estão em PG. Demonstre que as 
três alturas formam, também, uma PG. 
18. Os lados de um triângulo estão em PG. Entre que valores pode 
variar a razão dessa progressão. 
19. A soma de três números em PG é 26. Aumentando-se o segundo de 
4 e conservando-se os outros, passam a constituir PA. Calcule os 
termos da PG. 
20. Calcule o produto dos 242 primeiros termos da sequência 
{ }60 60 59 59 58 582 ,3 ,2 , 3 , 2 ,3 ,... .− −− − − 
21. São dadas uma PG crescente e uma PA com primeiro termo igual a 
zero. Somam-se os termos correspondentes das duas sequencias e 
obtém-se a sequência { }1,1,2,... .Calcule a soma dos cinco primeiros 
termos desta sequência 
22. Podem os números 1, 2 e 5 pertencer à mesma PG? 
23. Numa PG de 2n termos, a soma dos termos de ordem par é P e a soma 
dos termos de ordem ímpar, I. Calcule o primeiro termo e a razão. 
24. Simplifique a expressão 
2 4 2
2
1 ...
1 ...
n
n
x x x
x x x
+ + + +
+ + + +
. 
25. Escrevem-se duas progressões de mesmo número de termos, ambas 
iniciadas por 3 e terminadas por 192. Uma das progressões é aritmética, 
a outra é geométrica e o produto das razões é 252. Escreva as 
progressões. 
26. Num exame, era pedida a soma dos cinco termos de uma PG crescente, 
sendo dados o primeiro e o último. Um aluno aplicou, erradamente, a 
fórmula da soma dos termos de uma PA e achou 6,5 mais do que o 
verdadeiro resultado. Determine a razão da PG sabendo, ainda, que 
seu termo médio era 1. 
 
Gabaritos 
1. na = l+m-n 
2. r = 2 
3. 65 
4. 
92
79
 
5. 1,3,9,17,51,153 
6. ( )
( )
A B
A B
+
−
 
7. a = 1 
8. q < 0 e r=0 
9. {-3,-1,1,3} 
10. 2,5,8,11 
11. 4,6,8,10,12 
12. Demonstração 
13. Demonstração 
14. -2,2,6 
15. ( )
33 1k k+ + 
16. 4,6,9 
17. Demonstração 
18. 
5 1 5 1
2 2
q
− +
< < 
19. PA (2,10,18) , PG (2,6,18) 
20. -1 
21. 21 
22. NÃO. 
23. 1 2
( )(q 1)
1n
I P
a
q
+ −
=
−
 
24. 
1 1
1
nx
x
+
+
+
 
25. r = 63/ n = 4 
26. 
3 5
2
q
+
=