As medidas ângulos de um triângulo estão em PA, e os comprimentos das alturas do mesmo triangulo também estão em PA. Demonstre que o triângulo é eq...

Seja ABC um triângulo com medidas de ângulos em PA e comprimentos das alturas em PA. Sejam a, b e c as medidas dos ângulos opostos aos lados BC, AC e AB, respectivamente. Sejam h_a, h_b e h_c as alturas relativas aos lados BC, AC e AB, respectivamente. Como as medidas dos ângulos estão em PA, temos que b = (a + c)/2 e c = (b + a)/2. Substituindo essas expressões na equação b = (a + c)/2, obtemos b = (a + (b + a)/2)/2, o que implica em b = (2a + b)/4. Resolvendo para b, temos b = (2/3)a. Da mesma forma, substituindo as expressões para b e c na equação c = (b + a)/2, obtemos c = ((2/3)a + a)/2, o que implica em c = (5/6)a. Como as alturas estão em PA, temos que h_a = (h_b + h_c)/2. Substituindo as expressões para h_b e h_c, obtemos h_a = ((2/3)a + (5/6)a)/2, o que implica em h_a = (11/12)a. A área do triângulo ABC pode ser calculada de duas maneiras diferentes: como a soma das áreas dos triângulos menores (ABC, ACH e CBH) ou como base vezes altura dividido por 2 (usando o lado AB como base). Assim, temos: Área(ABC) = Área(ACH) + Área(CBH) + Área(ABC) Área(ABC) = (1/2)h_aAC + (1/2)h_bBC + (1/2)h_cAB Área(ABC) = (1/2)(11/12)aAC + (1/2)(2/3)aBC + (1/2)(5/6)aAB Área(ABC) = (1/2)a(AC + BC + AB) Como a área do triângulo ABC é a mesma, independentemente do método de cálculo, temos que: (1/2)a(AC + BC + AB) = Área(ABC) = (1/2)(11/12)aAC + (1/2)(2/3)aBC + (1/2)(5/6)aAB Simplificando, temos: AC + BC + AB = (11/12)AC + (2/3)BC + (5/6)AB Multiplicando ambos os lados por 12, temos: 12AC + 12BC + 12AB = 11AC + 8BC + 10AB Simplificando, temos: AC = 2BC Substituindo essa expressão na equação b = (a + c)/2, obtemos: b = (a + 2a)/2 b = (3/2)a Substituindo as expressões para b e c na equação c = (b + a)/2, obtemos: c = ((3/2)a + a)/2 c = (5/4)a Assim, temos que a = 60°, b = 90° e c = 30°, o que implica em um triângulo equilátero. Portanto, o triângulo ABC é equilátero.