23. Em um hexaedro regular ABCD-PQRS, com centros em P e R e raios PA e RC, Traçam-se os quadrantes que se interceptam em M e N em PR. Se a interse...

Para calcular a razão dos volumes do hexaedro e da pirâmide HPRS, precisamos primeiro encontrar o volume da pirâmide HPRS e o volume do hexaedro ABCD-PQRS. O hexaedro ABCD-PQRS é um cubo com aresta "a". Portanto, seu volume é dado por V_hexaedro = a³. Para encontrar o volume da pirâmide HPRS, precisamos encontrar a altura da pirâmide em relação à base HPRS. Como a base HPRS é um quadrado, a altura da pirâmide é a mesma que a altura do triângulo equilátero HPR. Para encontrar a altura do triângulo equilátero HPR, podemos usar o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo HPR. Temos que: HP² = HR² - RP² Como o hexaedro é regular, temos que PR = a√2. Além disso, como P e R são centros das circunferências de raios PA e RC, respectivamente, temos que PA = RC = a. Portanto: HP² = HR² - RP² HP² = (a√2)² - a² HP² = 2a² - a² HP = a√2 Assim, a altura da pirâmide HPRS é h = HP/3 = a√2/3. O volume da pirâmide HPRS é dado por V_piramide = (1/3) * A_base * h, onde A_base é a área da base HPRS. Como a base HPRS é um quadrado de lado a, temos que A_base = a². Portanto: V_piramide = (1/3) * a² * (a√2/3) V_piramide = a³/3√2 A razão dos volumes do hexaedro e da pirâmide HPRS é dada por: V_hexaedro / V_piramide = (a³) / (a³/3√2) V_hexaedro / V_piramide = 3√2 Portanto, a razão dos volumes do hexaedro e da pirâmide HPRS é 3√2.