Seja um hexaedro regular ABCD-EFGH, de aresta medindo 2 unidades. O plano determinado por D, o ponto médio R de CG e o baricentro do triângulo EFH...

Para calcular o volume do sólido DNH-RMG, precisamos primeiro encontrar a altura do tetraedro DNH em relação à base RMG. Sabemos que o baricentro de um triângulo divide a mediana em uma razão de 2:1. Portanto, o ponto médio R de CG divide o segmento DN em uma razão de 2:1. Assim, DR = 4/3 * DN. Também sabemos que o baricentro de um triângulo divide a mediana em uma razão de 2:1. Portanto, o baricentro do triângulo EFH divide o segmento GM em uma razão de 2:1. Assim, GR = 2/3 * GM. Agora podemos encontrar a altura do tetraedro DNH em relação à base RMG. Como DR é perpendicular a RMG, a altura do tetraedro é a distância entre D e o plano RMG. Podemos encontrar essa distância usando a fórmula da distância ponto-plano: h = |ax + by + cz + d| / sqrt(a^2 + b^2 + c^2) Onde (a, b, c) é o vetor normal ao plano RMG e d é a constante de distância do plano à origem. Podemos encontrar o vetor normal ao plano RMG usando o produto vetorial dos vetores RM e RG: RM x RG = (-4, 0, 0) x (0, 2, 0) = (0, 0, 8^2) Assim, o vetor normal ao plano RMG é (0, 0, 8^2). Como o ponto R está no plano RMG, podemos encontrar d substituindo as coordenadas de R na equação do plano: 0x + 0y + 8^2z + d = 0 d = -8^2z Substituindo as coordenadas de D na equação do plano, obtemos: 0x + 2y - 2z + d = 0 d = 2z Igualando as duas expressões para d, obtemos: -8^2z = 2z z = -1/4 Assim, a altura do tetraedro DNH em relação à base RMG é h = 2/3. Agora podemos calcular o volume do tetraedro DNH-RMG usando a fórmula: V = (1/3) * Bh Onde B é a área da base RMG e h é a altura do tetraedro em relação a essa base. A área da base RMG é: B = (1/2) * RG * GM = (1/2) * (2/3 * GM) * GM = GM^2 / 3 Substituindo os valores que encontramos, obtemos: V = (1/3) * (GM^2 / 3) * (2/3) V = 4^3 / 81 Portanto, a alternativa correta é a letra A) 312/15.