Lista 4_ Pirâmides Triangulares e Quadrangulares

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GEO. ESPACIAL-4: PIRAMIDES TRIANGULARES E 
QUADRANGULARES 
 
Prof. Marcão 
 
1 
TETRAEDROS QUAISQUER 
 
1. (ITA1990) Seja V o vértice de uma pirâmide com base triangular ABC. 
O segmento AV, de comprimento unitário, é perpendicular à base. Os 
ângulos das faces laterais, no vértice V, são todos de 45 graus. Deste 
modo, o volume da pirâmide será igual a: 
1 1 1
a) 2 2 2 b) 2 2 c) 2 2
6 6 3
1
d) 2 2 1 e)n.d.a
6
  

 
 
2. (IME 2012) Uma pirâmide regular triangular apresenta um volume V . 
Determine o raio da circunferência circunscrita a uma das faces laterais 
da pirâmide em função de V , sabendo que o ângulo do vértice vale 30º . 
 
3. (UNICAMP2000) Seja P um ponto do espaço eqüidistante dos 
vértices A, B e C de um triângulo cujos lados medem 8cm, 8cm e 9,6cm. 
Sendo d(P,A)=10cm, calcule: 
a) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC; 
b) a altura do tetraedro, não regular, cujo vértice é o ponto P e cuja base 
é o triângulo ABC. 
c)O volume do tetraedro PABC. 
 
4. (Ceará 1992) 
 Seja LMN um triângulo tal que LN 1 , MN 1 e LM x
 0 x 2  e K o pé da altura relativa ao lado LM . Mostre que 
2x
NK 1
4
  . 
 Considere um tetraedro em que uma e somente uma aresta tem 
comprimento maior que 1 . Demonstre que o volume do tetraedro é no 
máximo 
1
8
. 
5. (IFT MOSCOU) Uma pirâmide regular triangular é seccionada por um 
plano que passa por um de seus vértices da base e pelos pontos médios 
das arestas laterais .Achar a relação entre a superfície lateral da pirâmide 
e a área da base , sabendo-se que o plano secante é perpendicular a face 
lateral. 
 
6. A altura de uma pirâmide triangular regular é h. O ângulo diédrico 
entre as faces laterais é  . Determine o volume da pirâmide. 
 
7. (IFT MOSCOU) Achar o ângulo diédrico entre as faces laterais de uma 
pirâmide regular triangular , se o angulo diédrico formado por uma das 
faces laterais e a base é igual a  
 
8. (FUVEST 2002) A figura adiante representa uma pirâmide de base 
triangular ABC e vértice V. Sabe-se que ABC e ABV são triângulos 
eqüiláteros de lado e que E é o ponto médio do segmento AB . Se a 
medida do ângulo ˆVEC é 60°, então o volume da pirâmide é : 
 
 
3 3 3 3 33 3 3 3 3
a) b) c) d) e)
4 8 12 16 18
 
9. (UNICAMP2001) A base de uma pirâmide é um triângulo eqüilátero de lado 
L = 6cm e arestas laterais das faces A = 4cm. 
a) Calcule a altura da pirâmide. 
b) Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide? 
 
10. (IME 1994) Na exploração de uma mina foi feito o corte indicado na 
figura abaixo. Para calcular o volume do minério extraído do corte, foram 
medidos: 10 3 ,CD dm CD é perpendicular ao plano ABC, 
ˆ ˆ ˆ60 30    ADC ADB e BDC . Calcule este volume. 
 
 
 
 
 
 
 
11. (ITA1991) As arestas da base de uma pirâmide triangular regular 
medem cm e as faces laterais são triângulos retângulos. O volume 
desta pirâmide é: 
a) 3 3
3
l cm
6
 b)
3 33 l cm
12
 c)
3 33 l cm
24
 
e) d) 
3 32 l cm
12
 e) n.d.a. 
 
12. (ITA1995) Dada uma pirâmide regular triangular, sabe-se que sua 
altura mede 3a cm , onde a é a medida da aresta de sua base. Então, a 
área total desta pirâmide, em 2cm , vale: 
 
13. Cada face lateral de uma pirâmide triangular regular de apótema m 
forma com a base um ângulo de medida  . Mostre que o volume dessa 
pirâmide é igual a    
3m 3
.sen 2 .cos
2
 
   
 
 
 
14. (Ita 2015) Na construção de um tetraedro, dobra-se uma folha 
retangular de papel, com lados de 3cm e 4cm, ao longo de uma de 
suas diagonais, de modo que essas duas partes da folha formem um 
ângulo reto e constituam duas faces do tetraedro. Numa segunda etapa, 
de maneira adequada, completa-se com outro papel as faces restantes 
para formar o tetraedro. Obtenha as medidas das arestas do tetraedro. 
 
15. (Fuvest 2013) No paralelepípedo reto retângulo ABCDEFGH da 
figura, tem-se AB 2, AD 3 e AE 4. 
 
 
 
a) Qual é a área do triângulo ABD? 
b) Qual é o volume do tetraedro ABDE? 
c) Qual é a área do triângulo BDE? 
d) Sendo Q o ponto do triângulo BDE mais próximo do ponto A, quanto 
vale AQ? 
 
A 
D 
B 
C 
 
 2 
PIRÂMIDES QUADRANGULARES 
 
16. (OPM2002) Uma pirâmide de base quadrada ABCD e vértice V tem 
todas as arestas com medida 1m. Um plano, passando pela aresta AB, 
corta as arestas VC e VD nos pontos P e Q, respectivamente, dividindo a 
pirâmide em dois sólidos 1 2S e S . 
a) Dê o número de vértices, de faces e de arestas de 1 2S e S 
b) Calcule o volume da pirâmide VABCD. 
c) Calcule a razão 
VP
PC
, sabendo que 1 2S e S têm o mesmo volume 
 
17. (IME 2003) Seja uma pirâmide regular de vértice V e base 
quadrangular ABCD. O lado da base da pirâmide mede L e a aresta lateral 
L 2 . Corta-se a essa pirâmide por um plano que contém o vértice A, é 
paralelo à reta BD, e contém o ponto médio da aresta VC. Calcule a área 
da seção determinada pela interseção do plano com a pirâmide. 
 
18. O ângulo diédrico entre as faces laterais de uma pirâmide 
quadrangular regular vale  . Determine o ângulo diédrico da face lateral 
com a base. 
 
19. (IFTMOSCOU) Tomando as faces laterais de uma pirâmide 
quadrangular regular como bases , constroem-se tetraedros regulares. 
Encontrar a distância entre os vértices externos de dois tetraedros 
adjacentes se a aresta da base da pirâmide é a . 
 
20. (IME 2009) Seja um cubo de base ABCD com aresta a . No interior do 
cubo , sobre a diagonal principal , marca-se o ponto V , formando-se a 
pirâmide VABCD..Determine os possíveis valores da altura da pirâmide 
VABCD, em função de a, sabendo-se que a soma dos quadrados das 
arestas laterais da pirâmide é igual a 
2k.a , sendo k um número primo. 
OBS : as arestas laterais da pirâmide são VA,VB, VC e VD. 
 
21. (IME 2010) A área da superfície lateral de uma pirâmide quadrangular 
regular SABCD é duas vezes maior do que a área de sua base ABCD. 
Nas faces SAD e SDC traçam-se as medianas AQ e DP.Calcule o ângulo 
entre estas medianas. 
 
22. Em uma pirâmide regular PABCD, tomam-se os pontos médios M, N, 
T e S em BP, DP, DA e AB, respectivamente, tal que a área da região 
quadrangular equilátera MNTS é 36. Calcule o volume da pirâmide. 
 
23. Em um hexaedro regular ABCD-PQRS, com centros em P e R e raios 
PA e RC, Traçam-se os quadrantes que se interceptam em M e N em PR. 
Se a intercecção dos arcos AM e NC é H, calcule a razão dos volumes do 
hexaedro e da pirâmide HPRS. 
 
24. Em uma pirâmide quadrangular regular VABCD , a razão entre o 
caminho mínimo para ir de A a C pela superfície lateral da pirâmide e o 
caminho mínimo para ir de A a C pela base da pirâmide é 
2
√3
. calcule a 
medida do ângulo determinado pela aresta lateral e a base. 
 
25. (Unifesp 2014) A figura indica uma pirâmide regular quadrangular 
reta cujas faces laterais são triângulos equiláteros. A aresta da base 
dessa pirâmide mede 12 cm. 
 
 
Duas formigas, F1 e F2, partiram do ponto médio da aresta VA para o 
ponto médio da aresta VC, sempre caminhando por faces, arestas, ou 
cruzando arestas. Dentre todos os caminhos possíveis ligando os dois 
pontos, a formiga F1 escolheu o mais curto deles. Já a formiga F2 escolheu 
o caminho mais curto dentre todos que passam pela base ABCD da 
pirâmide. Calcule: 
 
a) a distância percorrida pela formiga F1. 
 
 
 
b) a distância percorrida pela formiga F2. 
 
 
 
26. (Epcar (Afa) 2014) Considere uma pirâmide regular ABCDV de base 
ABCD.Sendo 2 2 cm a medida da aresta da base e 2 3 cm a medida 
da altura dessa pirâmide, a distância, em cm, de A à aresta lateral VC 
é 
a) 2 2 b) 2 3 c) 4 d) 3 
 
27. (Epcar (Afa) 2013) Uma pirâmide regular ABCV, de base triangular 
ABC, é tal, que sua aresta lateral AV mede 3 cm. Sendo 5 cm a 
altura de tal pirâmide, a distância, em cm, de A à face BCV é igual a 
a) 
30
2
 b) 7 c) 
26
2
 d) 2 2 
 
28. (Fuvest 2015) O sólido da figuraé formado pela pirâmide SABCD 
sobre o paralelepípedo reto ABCDEFGH. Sabe-se que S pertence à 
reta determinada por A e E e que AE 2cm, AD 4cm e AB 5cm. 
 
 
 
A medida do segmento SA que faz com que o volume do sólido seja igual 
a 
4
3
 do volume da pirâmide SEFGH é 
a) 2 cm b) 4 cm c) 6 cm d) 8 cm e) 10 cm 
 
 
 
 3 
 
29. (Fuvest 2012) 
 
 
A base do tetraedro PABCD é o quadrado ABCD de lado , contido no 
plano α . Sabe-se que a projeção ortogonal do vértice P no plano α está 
no semiplano de α determinado pela reta BC e que não contém o lado 
AD . Além disso, a face BPC é um triângulo isósceles de base BC cuja 
altura forma, com o plano α , um ângulo θ , em que 0 2    . Sendo 
PB 2/2 , determine, em função de e θ , 
a) o volume do tetraedro PABCD; 
b) a altura do triângulo APB relativa ao lado AB ; 
c) a altura do triângulo APD relativa ao lado AD . 
 
30. (FUVEST 2005) A base ABCD da pirâmide ABCDE é um retângulo 
de lados AB = 4 e BC = 3. As áreas dos triângulos ABE e CDE são, 
respectivamente, 4 10 e 2 37 . Calcule o volume da pirâmide 
 
 
31. (FUVEST 2004) No sólido S representado na figura a seguir, a base 
ABCD é um retângulo de lados AB 2 e AD  as faces ABEF e 
DCEF são trapézios; As faces ADF e BCE são triângulos eqüiláteros e o 
segmento EF tem comprimento . Determinar, em função de , o 
volume de S. 
 
 
 
32. (Ime 2014) Seja SABCD uma pirâmide, cuja base é um 
quadrilátero convexo ABCD. A aresta SD é a altura da pirâmide. 
Sabe-se que AB BC 5 ,  AD DC 2 ,  AC 2 e SA SB 7.  
O volume da pirâmide é 
a) 5 b) 7 c) 11 d) 13 e) 17 
 
33. (ITA 2001) A razão entre a área da base de uma pirâmide regular de 
base quadrada e a área de uma das faces é 2. Sabendo que o volume 
da pirâmide é de 12m3, temos que a altura da pirâmide mede (em metros): 
 
a) 1 b)2 c)3 d)4 e)5 
 
34. (ITA2003) A área lateral de uma pirâmide quadrangular regular de 
altura 4 m e área da base 264 m vale: 
 2 2 2 2 2a)128m b)64 2 m c)135 m d)60 5 m e)32 2 1 m 
 
35. (ITA2003) Considere uma pirâmide regular de altura igual a 5 cm e 
cuja base é formada por um quadrado de área igual a 28 cm . A distância 
de cada face desta pirâmide ao centro de sua base, em cm, é igual a: 
 
15 5 6 4 3 7
a) b) c) d) e) 3
3 9 5 5
 
 
36. (ITA1998) Uma pirâmide regular tem por base um quadrado de lado 
2 cm. Sabe-se que as faces formam com a base ângulos de 45°. Então, 
a razão entre a área da base e a área lateral é igual a: 
1 2 3
a) 2 b) c) 6 d) e) 
3 2 3
 
 
37. (Ime 2011) A base de uma pirâmide é um retângulo de área S. Sabe-
se que duas de suas faces laterais são perpendiculares ao plano da base. 
As outras duas faces formam ângulos de 30° e 60° com a base. O volume 
da pirâmide é: 
a) 
S S
3
 b) 
S S
6
 c) 
2S S
3
 d) 
2S S
5
 e) 
22S
3
 
 
38. (ITA1987) Seja (T) um cubo com aresta de medida a. Considere (P) 
a pirâmide que tem vértice no centro de uma face de (T) e com base na 
face oposta de (T). Sendo x a área lateral de (P), temos: 
 
a) 
2x a 3  
b) 
2x a 5  
c)  
2
x a 1 5   
d)  
2
x a 1 3   
e)  2x a 3 5  