Um satélite está se movimentando em torno da Terra em uma órbita circular de raio r e velocidade 0v . Uma partícula é lançada do satélite na mesma...

Para calcular a distância mínima e máxima do centro da Terra do movimento subsequente da partícula, podemos utilizar a conservação da energia mecânica. A energia mecânica total da partícula é dada por: E = K + U Onde K é a energia cinética e U é a energia potencial gravitacional. Antes do lançamento, a energia mecânica total da partícula é igual à energia mecânica total do satélite, que é dada por: E = Ks + Us Onde Ks é a energia cinética do satélite e Us é a energia potencial gravitacional do satélite. Como o satélite está em órbita circular, sua energia mecânica total é constante e pode ser escrita como: E = Ks + Us = -G(MTm)/2r Onde G é a constante gravitacional, MT é a massa da Terra, ms é a massa do satélite e r é o raio da órbita. Após o lançamento, a energia mecânica total da partícula é dada por: E = Kp + Up Onde Kp é a energia cinética da partícula e Up é a energia potencial gravitacional da partícula. A energia cinética da partícula é dada por: Kp = (1/2)mpv^2 Onde mp é a massa da partícula e v é a velocidade da partícula em relação ao satélite. A energia potencial gravitacional da partícula é dada por: Up = -G(MTmp)/r' Onde r' é a distância da partícula ao centro da Terra. Como a energia mecânica total da partícula é conservada, podemos escrever: Kp + Up = Ks + Us Substituindo as expressões para Kp, Up, Ks e Us, temos: (1/2)mpv^2 - G(MTmp)/r' = -G(MTms)/2r Isolando r', temos: r' = (G(MTmp)/mpv^2) - r A distância mínima ocorre quando a velocidade da partícula em relação ao satélite é igual à velocidade orbital do satélite, ou seja, v = 0, e a distância máxima ocorre quando a velocidade da partícula em relação ao satélite é máxima, ou seja, v = 2v0. Substituindo v = 0, temos: rmin = (G(MTmp)/mpv0^2) - r Substituindo v = 2v0, temos: rmax = (G(MTmp)/(4mpv0^2)) - r Portanto, a distância mínima do centro da Terra do movimento subsequente da partícula é rmin e a distância máxima é rmax.