Designating by M the mass of the star (M >> m) and by E the total mechanical energy, it can be affirmed that: A. ( ) 2 E GM v 2 m r      ...

A alternativa correta é a letra A. A fórmula correta para a energia mecânica total de um objeto em órbita é E = (1/2)mv² - GMm/r, onde m é a massa do objeto em órbita, v é a velocidade, G é a constante gravitacional, M é a massa do objeto central (no caso, a estrela) e r é a distância entre os dois objetos. No entanto, quando M é muito maior do que m, podemos considerar que a velocidade do objeto em órbita é constante (ou seja, v²/r é constante). Nesse caso, podemos simplificar a fórmula para E = -GMm/2r. Substituindo essa fórmula na equação dada, obtemos: 2E = 2(-GMm/2r) = -GMm/r Dividindo por mv², temos: 2E/mv² = -GM/r + v²/r O segundo termo é igual a v²/r, que é constante. Quando M é muito maior do que m, podemos considerar que a energia cinética do objeto em órbita é muito menor do que a energia potencial gravitacional, então podemos desprezar o primeiro termo (-GM/r). Portanto, temos: 2E/mv² = v²/r Multiplicando ambos os lados por r, temos: 2E/m = v²r Substituindo GMm/r por v² na equação original, temos: E = -GMm/2r + (1/2)mv² Substituindo v²r por 2E/m, temos: E = -GMm/r + E/m Simplificando, temos: E = GMm/2r Portanto, a alternativa correta é a letra A.