19. (Ufrgs 2020) A área do quadrilátero formado pelos pontos de interseção da circunferência de equação 2 2(x 1) y 4   com os eixos coordenados...

Para encontrar a área do quadrilátero formado pelos pontos de interseção da circunferência com os eixos coordenados, podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar as coordenadas dos pontos de interseção da circunferência com os eixos coordenados. 2. Traçar os segmentos de reta que ligam esses pontos de interseção. 3. Calcular a área do quadrilátero formado por esses segmentos de reta. Para encontrar as coordenadas dos pontos de interseção da circunferência com os eixos coordenados, podemos substituir x = 0 e y = 0 na equação da circunferência: Para x = 0: 2(0 - 1) + y^2 + 4 = 0 y^2 = -2 Como não existe raiz quadrada de número negativo, não há interseção da circunferência com o eixo y. Para y = 0: 2x^2 + 4 = -2(x - 1) 2x^2 + 2x - 2 = 0 x^2 + x - 1 = 0 Aplicando a fórmula de Bhaskara, encontramos: x = (-1 ± √5)/2 Portanto, os pontos de interseção da circunferência com o eixo x são: A = ((-1 - √5)/2, 0) B = ((-1 + √5)/2, 0) Traçando os segmentos de reta AB, AO, BO e OC, onde O é a origem do sistema de coordenadas, obtemos um trapézio. Para calcular a área desse trapézio, podemos dividir em dois triângulos e um retângulo: Área do triângulo AOB = (AB * OA)/2 Área do triângulo BOC = (BC * OC)/2 Área do retângulo OABC = AB * OC Substituindo os valores, temos: AB = (-√5)/2 - (√5 + 1)/2 = -√5 - 1 OA = (-√5)/2 BC = (√5 + 1)/2 - (-√5)/2 = √5 + 1 OC = (√5 + 1)/2 Área do triângulo AOB = (AB * OA)/2 = (-√5 - 1) * (-√5/2)/2 = (3 + √5)/4 Área do triângulo BOC = (BC * OC)/2 = (√5 + 1) * (√5 + 1)/4 = (6 + 2√5)/4 Área do retângulo OABC = AB * OC = (-√5 - 1) * (√5 + 1)/2 = -3 Portanto, a área do quadrilátero é a soma das áreas dos triângulos e do retângulo: Área do quadrilátero = Área do triângulo AOB + Área do triângulo BOC + Área do retângulo OABC Área do quadrilátero = (3 + √5)/4 + (6 + 2√5)/4 - 3 Área do quadrilátero = (11 + 3√5)/4 Assim, a alternativa correta é a letra E) 12.