20. (Ufrgs 2019) A elipse de equação 2x^2 + y^2/4 = 9 está esboçada na imagem a seguir.
A área do quadrilátero ABCD é

a) 4.
b) 9.
c) 12.
d) 24.
e) 36.

Question

20. (Ufrgs 2019)  A elipse de equação 2x^2 + y^2/4 = 9 está esboçada na imagem a seguir.
A área do quadrilátero ABCD  é

a) 4.
b) 9.
c) 12.
d) 24.
...

Ed · Answer

Para encontrar a área do quadrilátero ABCD formado pela elipse dada pela equação $2x^2 + \frac{y^2}{4} = 9$, primeiro precisamos reescrever a equação da elipse na forma padrão.

Dividindo toda a equação por 9, temos:

$$
\frac{2x^2}{9} + \frac{y^2}{36} = 1
$$

Isso nos dá uma elipse com semi-eixos:

- $a^2 = \frac{9}{2} \Rightarrow a = \frac{3}{\sqrt{2}} \approx 2,12$ (semi-eixo maior)
- $b^2 = 36 \Rightarrow b = 6$ (semi-eixo menor)

A área $A$ de uma elipse é dada pela fórmula:

$$
A = \pi \cdot a \cdot b
$$

Substituindo os valores de $a$ e $b$:

$$
A = \pi \cdot \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot 6 = 9\pi/\sqrt{2}
$$

No entanto, a questão pede a área do quadrilátero ABCD, que é formado pelos eixos da elipse. A área do retângulo formado pelos eixos é:

$$
A_{retângulo} = 2a \cdot 2b = 2 \cdot \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot 2 \cdot 6 = 12\sqrt{2}
$$

Porém, como a questão não fornece a imagem e não temos certeza do formato do quadrilátero, vamos considerar as opções dadas.

A área do quadrilátero ABCD, que é a área total da elipse, é mais próxima de 36, considerando que a elipse ocupa uma área maior.

Portanto, a alternativa correta é: **e) 36.**

Ed · Answer

Para encontrar a área do quadrilátero ABCD, precisamos primeiro encontrar as coordenadas dos pontos A, B, C e D.

Sabemos que a equação da elipse é 2x^2 + y^2/4 = 9. Podemos reescrevê-la como y^2 = 36 - 2x^2.

Para encontrar as coordenadas do ponto A, podemos substituir x = 0 na equação da elipse. Isso nos dá y^2 = 36, o que significa que y = ±6. Portanto, o ponto A tem coordenadas (0, 6) e (0, -6).

Para encontrar as coordenadas do ponto B, podemos substituir y = 0 na equação da elipse. Isso nos dá 2x^2 = 9, o que significa que x = ±3/√2. Portanto, o ponto B tem coordenadas (3/√2, 0) e (-3/√2, 0).

Para encontrar as coordenadas do ponto C, podemos traçar uma linha vertical que passa pelo ponto B e encontra a elipse no ponto C. Podemos ver que essa linha tem equação x = 3/√2. Substituindo isso na equação da elipse, encontramos que y = ±3√2. Portanto, o ponto C tem coordenadas (3/√2, 3√2) e (3/√2, -3√2).

Para encontrar as coordenadas do ponto D, podemos traçar uma linha vertical que passa pelo ponto A e encontra a elipse no ponto D. Podemos ver que essa linha tem equação x = 0. Substituindo isso na equação da elipse, encontramos que y = ±3√2. Portanto, o ponto D tem coordenadas (0, 3√2) e (0, -3√2).

Agora que temos as coordenadas dos pontos A, B, C e D, podemos calcular a área do quadrilátero ABCD usando a fórmula da área de um quadrilátero:

Área = 1/2 * |(x1*y2 + x2*y3 + x3*y4 + x4*y1) - (y1*x2 + y2*x3 + y3*x4 + y4*x1)|

Substituindo as coordenadas dos pontos, encontramos:

Área = 1/2 * |(0*0 + 3/√2*3√2 + 0*(-6) + (-3/√2)*(-3√2)) - (6*3/√2 + 3√2*0 + (-3√2)*0 + (-6)*(-3/√2))|

Área = 1/2 * |(18 - 18)|

Área = 0

Portanto, a área do quadrilátero ABCD é 0. A resposta correta não está entre as alternativas apresentadas.

Cálculo

08 07 (Lista - Geometria Analítica Inequações Revisão)

Respostas

Crie sua conta grátis para liberar essa resposta. 🤩

Ainda com dúvidas?

Essa pergunta também está no material:

08 07 (Lista - Geometria Analítica Inequações Revisão)

1. (Pucmg 2010) A medida da área do triângulo limitado pelas retas 4x + 5y − 20 = 0, ???? = 0 e ???? = 0, é:

a) 4
b) 5
c) 10
d) 16

2.(Mackenzie 2011) Os pontos (????, ????) do plano tais que ????2 + y² ≤ 36, com ???? + y ≥ 6 definem uma região de área

a) 6(???? − 2)
b) 9 − ????
c) 9(???? − 2)
d) 6 − ????
e) 18(???? − 2)

3. (Espm 2017) Os pontos do plano cartesiano que atendem às condições 0 ≤ ???? ≤ 4, 0 ≤ ???? ≤ 3 e ???? + ???? ≥ 2 simultaneamente, formam uma figura plana cuja área é igual a:

a) 14
b) 16
c) 12
d) 10
e) 8

4. (Unioeste 2013) A área da região do plano formada pelos pontos (????, ????) tais que ????2 + y2 − 4x ≤ 0 e ???? − y − 2 ≥ 0, em unidades de área, é igual a

a) ????/2
b) ????
c) 2????
d) 3????
e) 4????

5. (Espm 2012) Seja C a região do plano cartesiano definida pela desigualdade (x – 2)2 + (y – 2)2  4 e seja P a região definida por x  2 ou y  2. A área da região intersecção entre C e P é:

a) π
b) 2π
c) 3π
d) 4π
e) 5π

7.(Ita 2017) Sejam ????1 = {(????, ????) ∈ ℝ2: ???? ≥ ||????| − 1|} e ????2 = {(????, ????) ∈ ℝ2: ????2 + (???? + 1)² ≤ 25} A área da região ????1 ∩ ????2 é

a) 25/4???? − 2
b) 25/4???? − 1
c) 25/4????
d) 75/4???? − 1
e) 75/4???? − 2

8. (Fgv 2017) No plano cartesiano, a região determinada pelas inequações simultâneas????2 + ????2 ≤ 4 e ???? + ???? ≤ 0 tem área igual a:

a) 2????
b) 2,5????
c) 3????
d) 3,5????
e) 4????

11. (Unifesp 2013) Considere o sistema de inequações

Mais conteúdos dessa disciplina

Cálculo

08 07 (Lista - Geometria Analítica Inequações Revisão)

Respostas

Crie sua conta grátis para liberar essa resposta. 🤩

Ainda com dúvidas?

Essa pergunta também está no material:

08 07 (Lista - Geometria Analítica Inequações Revisão)

1. (Pucmg 2010) A medida da área do triângulo limitado pelas retas 4x + 5y − 20 = 0, ???? = 0 e ???? = 0, é:a) 4b) 5c) 10d) 16

2.(Mackenzie 2011) Os pontos (????, ????) do plano tais que ????2 + y² ≤ 36, com ???? + y ≥ 6 definem uma região de áreaa) 6(???? − 2)b) 9 − ????c) 9(???? − 2)d) 6 − ????e) 18(???? − 2)

3. (Espm 2017) Os pontos do plano cartesiano que atendem às condições 0 ≤ ???? ≤ 4, 0 ≤ ???? ≤ 3 e ???? + ???? ≥ 2 simultaneamente, formam uma figura plana cuja área é igual a:a) 14b) 16c) 12d) 10e) 8

4. (Unioeste 2013) A área da região do plano formada pelos pontos (????, ????) tais que ????2 + y2 − 4x ≤ 0 e ???? − y − 2 ≥ 0, em unidades de área, é igual aa) ????/2b) ????c) 2????d) 3????e) 4????

5. (Espm 2012) Seja C a região do plano cartesiano definida pela desigualdade (x – 2)2 + (y – 2)2  4 e seja P a região definida por x  2 ou y  2. A área da região intersecção entre C e P é:a) πb) 2πc) 3πd) 4πe) 5π

7.(Ita 2017) Sejam ????1 = {(????, ????) ∈ ℝ2: ???? ≥ ||????| − 1|} e ????2 = {(????, ????) ∈ ℝ2: ????2 + (???? + 1)² ≤ 25} A área da região ????1 ∩ ????2 éa) 25/4???? − 2b) 25/4???? − 1c) 25/4????d) 75/4???? − 1e) 75/4???? − 2

8. (Fgv 2017) No plano cartesiano, a região determinada pelas inequações simultâneas????2 + ????2 ≤ 4 e ???? + ???? ≤ 0 tem área igual a:a) 2????b) 2,5????c) 3????d) 3,5????e) 4????

11. (Unifesp 2013) Considere o sistema de inequações

Mais conteúdos dessa disciplina

1. (Pucmg 2010) A medida da área do triângulo limitado pelas retas 4x + 5y − 20 = 0, ???? = 0 e ???? = 0, é:

a) 4
b) 5
c) 10
d) 16

2.(Mackenzie 2011) Os pontos (????, ????) do plano tais que ????2 + y² ≤ 36, com ???? + y ≥ 6 definem uma região de área

a) 6(???? − 2)
b) 9 − ????
c) 9(???? − 2)
d) 6 − ????
e) 18(???? − 2)

3. (Espm 2017) Os pontos do plano cartesiano que atendem às condições 0 ≤ ???? ≤ 4, 0 ≤ ???? ≤ 3 e ???? + ???? ≥ 2 simultaneamente, formam uma figura plana cuja área é igual a:

a) 14
b) 16
c) 12
d) 10
e) 8

4. (Unioeste 2013) A área da região do plano formada pelos pontos (????, ????) tais que ????2 + y2 − 4x ≤ 0 e ???? − y − 2 ≥ 0, em unidades de área, é igual a

a) ????/2
b) ????
c) 2????
d) 3????
e) 4????

5. (Espm 2012) Seja C a região do plano cartesiano definida pela desigualdade (x – 2)2 + (y – 2)2  4 e seja P a região definida por x  2 ou y  2. A área da região intersecção entre C e P é:

a) π
b) 2π
c) 3π
d) 4π
e) 5π

7.(Ita 2017) Sejam ????1 = {(????, ????) ∈ ℝ2: ???? ≥ ||????| − 1|} e ????2 = {(????, ????) ∈ ℝ2: ????2 + (???? + 1)² ≤ 25} A área da região ????1 ∩ ????2 é

a) 25/4???? − 2
b) 25/4???? − 1
c) 25/4????
d) 75/4???? − 1
e) 75/4???? − 2

8. (Fgv 2017) No plano cartesiano, a região determinada pelas inequações simultâneas????2 + ????2 ≤ 4 e ???? + ???? ≤ 0 tem área igual a:

a) 2????
b) 2,5????
c) 3????
d) 3,5????
e) 4????