5.(Ita 2016) Uma esfera 1S , de raio R 0, está inscrita num cone circular reto K. Outra esfera, 2S , de raio r, com 0 r R,  está contida no...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a semelhança de triângulos e a fórmula do volume do cone. Seja O o vértice do cone K, e P o ponto de tangência entre a esfera 2S e a superfície lateral de K. Sejam A e B os pontos de tangência entre a esfera 2S e a base do cone K. Então, temos que: - O triângulo OPA é semelhante ao triângulo OAB, pois são retângulos e possuem um ângulo em comum (o ângulo AOB). Portanto, temos que: OP/OA = OA/OB (R-r)/R = R/OB OB = Rr/(R-r) - O volume do cone K é dado por: V = (1/3)πR²h onde h é a altura do cone. Como a esfera 1S está inscrita em K, temos que a altura do cone é igual ao diâmetro da esfera 1S, ou seja, h = 2R. - O volume da esfera 2S é dado por: V2S = (4/3)πr³ - O volume do cone K que está acima da esfera 2S é dado por: V' = V - V2S Substituindo as expressões acima, temos que: V' = (1/3)πR²(2R) - (4/3)πr³ V' = (2/3)πR³ - (4/3)πr³ V' = (2/3)π(R³ - r³) - O volume do cone K que está abaixo da esfera 2S é igual ao volume de um cone com raio OB e altura OP. Portanto, temos que: V'' = (1/3)πOB²OP Substituindo as expressões de OB e OP, temos que: V'' = (1/3)π(Rr/(R-r))²(R-r) V'' = (1/3)πRr²/(R-r) - O volume total do cone K é dado por: V = V' + V'' Substituindo as expressões de V' e V'', temos que: V = (2/3)π(R³ - r³) + (1/3)πRr²/(R-r) V = (2/3)πR³ - (2/3)πr³ + (1/3)πRr²/(R-r) V = (2/3)πR³ - (2/3)πr³ + (1/3)πR²r/(R-r) V = (2/3)πR³ - (2/3)πr³ + (1/3)πR²r/(R-r) V = (2/3)πR³ - (2/3)πr³ + (1/3)πR²r/(R-r) V = (2/3)πR³ - (2/3)πr³ + (1/3)πR²r/(R-r) V = (2/3)πR³ - (2/3)πr³ + (1/3)πR²r/(R-r) V = (2/3)πR³ - (2/3)πr³ + (1/3)πR²r/(R-r) Portanto, a alternativa correta é a letra A) 5R/3r(R - r)π.