9. (ITA 2007) Um cone eqüilátero está inscrito numa esfera de raio igual a 4 m. Determine a que distancia do centro da esfera deve-se traçar um pla...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a relação entre as áreas das seções do cone e da esfera. Sabemos que a área da seção do cone é proporcional ao quadrado da distância do plano que a corta ao vértice do cone, enquanto a área da seção da esfera é proporcional ao quadrado da distância do plano que a corta ao centro da esfera. Seja "d" a distância do plano que corta o cone à base do cone. Como o cone é equilátero, a área da base do cone é (3/4) vezes a área da seção do cone. Portanto, a área da seção do cone é (4/3) vezes a área da base do cone. A área da seção da esfera é igual à área da seção do cone quando a diferença entre elas é igual à área da base do cone. Assim, temos: 4πr²[(d+r)² - r²] = (4/3)πr³ - (3/4)πr²d² Simplificando e resolvendo para "d", obtemos: d = r(2 - √3) Substituindo o valor de "r" (4 m), temos: d = 4(2 - √3) ≈ 0,54 m Portanto, a distância do plano que corta o cone à base do cone deve ser de aproximadamente 0,54 m.