19. (ITA 2006) As medidas, em metros, do raio da base, da altura e da geratriz de um cone circular reto formam, nesta ordem, uma progressão aritmét...

Para calcular a área total do cone, precisamos primeiro encontrar a medida do raio, da altura e da geratriz. Sabemos que essas medidas formam uma progressão aritmética de razão 2 metros. Seja "a" a medida do primeiro termo (raio da base), então o segundo termo (altura) é a + 2 e o terceiro termo (geratriz) é a + 4. Usando o teorema de Pitágoras, podemos encontrar o valor da altura: altura² = geratriz² - raio² (a + 2)² = (a + 4)² - a² a² + 4a + 4 = a² + 8a + 16 - a² 4a + 4 = 8a + 16 4a = 12 a = 3 Portanto, o raio da base é 3 metros, a altura é 5 metros (3 + 2) e a geratriz é 7 metros (3 + 4). A área total do cone é dada por: Área total = Área lateral + Área da base Área lateral = π * raio * geratriz Área lateral = π * 3 * 7 Área lateral = 21π Área da base = π * raio² Área da base = π * 3² Área da base = 9π Área total = 21π + 9π Área total = 30π Portanto, a área total do cone é de 30π metros quadrados.