17. (Ita 2003) considere a família de circunferências com centros no segundo quadrante e tangentes ao eixo Oy. Cada uma destas circunferências cort...

Para resolver essa questão, podemos utilizar a seguinte estratégia: - Desenhar um esboço da situação descrita no enunciado; - Encontrar a equação geral das circunferências da família; - Encontrar a equação do lugar geométrico dos centros das circunferências. Desenhando um esboço, podemos perceber que as circunferências da família têm centros no segundo quadrante e são tangentes ao eixo Oy. Além disso, cada circunferência corta o eixo Ox em dois pontos, distantes entre si de 4 cm. Podemos representar uma circunferência qualquer da família por (x + a)^2 + (y - b)^2 = r^2, onde a e b são as coordenadas do centro da circunferência e r é o raio. Como a circunferência é tangente ao eixo Oy, temos que a = -b. Além disso, como a circunferência corta o eixo Ox em dois pontos, distantes entre si de 4 cm, temos que o diâmetro da circunferência é igual a 4 cm. Logo, r = 2 cm. Substituindo essas informações na equação geral da circunferência, temos: (x - a)^2 + (y + a)^2 = 4 Expandindo essa equação, temos: x^2 - 2ax + a^2 + y^2 + 2ay + a^2 = 4 Simplificando, temos: x^2 + y^2 - 2ax + 2ay + 2a^2 - 4 = 0 Agora, precisamos encontrar a equação do lugar geométrico dos centros das circunferências. Para isso, podemos utilizar a seguinte estratégia: - Substituir a equação geral da circunferência pela equação do lugar geométrico dos centros; - Isolar a variável a. Substituindo a equação geral da circunferência pela equação do lugar geométrico dos centros, temos: x^2 + y^2 - 2ax + 2ay + 2a^2 - 4 = 0 Isolando a variável a, temos: a = (x + y ± 2)/2 Portanto, o lugar geométrico dos centros das circunferências é uma reta, representada por y = x/2 - 1 ou y = -x/2 - 1. Como essa reta passa pelo segundo quadrante, a alternativa correta é a letra d).