20. (IME 2011) Determine o valor da excentricidade da cônica dada pela equação ????2 − 10√3???????? + 11????2 + 16 = 0

Para determinar a excentricidade de uma cônica, é necessário conhecer a sua equação reduzida. Para isso, é necessário fazer uma mudança de coordenadas para centralizar a cônica na origem e, em seguida, aplicar uma rotação para alinhar os eixos com os eixos coordenados. Após essas transformações, a equação reduzida da cônica será da forma: ((x')^2/a^2) + ((y')^2/b^2) = 1 onde a e b são os semieixos da cônica. No caso da equação dada, é possível verificar que se trata de uma hipérbole, pois o coeficiente de x^2 e o coeficiente de y^2 possuem sinais opostos. Além disso, o termo constante é positivo. Fazendo a mudança de coordenadas x = x' e y = (y' + 5√3)/2, a equação da cônica se torna: ((x')^2/16) - ((y')^2/9) = 1 Portanto, a excentricidade da hipérbole é dada por: e = √(a^2 + b^2)/a No caso da equação dada, a = 4 e b = 3, então: e = √(4^2 + 3^2)/4 = √(16 + 9)/4 = √25/4 = 5/4 Portanto, a excentricidade da cônica é 5/4.