21.(IME 2010) Uma hipérbole de excentricidade 2 tem centro na origem e passa pelo ponto 5,1 . A equação de uma reta tangente a esta hipérbole e p...

Para encontrar a equação da reta tangente à hipérbole, precisamos primeiro encontrar a equação da hipérbole. Sabemos que a excentricidade é 2 e o centro é a origem, então a equação da hipérbole é dada por: x²/a² - y²/b² = 1, onde e = c/a = 2 Sabemos que a hipérbole passa pelo ponto (5,1), então podemos substituir esses valores na equação e obter: 25/a² - 1/b² = 1 Também sabemos que a reta tangente é paralela a y = 2x, então seu coeficiente angular é 2. Podemos derivar a equação da hipérbole para encontrar a inclinação da reta tangente: 2x/a² - 2y/b² * (dy/dx) = 0 dy/dx = xb²/ya² Agora podemos usar o ponto (5,1) e a inclinação da reta tangente para encontrar sua equação usando a fórmula ponto-inclinação: y - 1 = 2(x - 5) y = 2x - 9 Portanto, a alternativa correta é a letra (E) y = 2x - 9.